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Sommaire de cette page

>>> Quelques mathématiciens du programme Langlands

>>> Programme de Langlands en bref

>>> PONTS: Analyse harmonique / Théorie des nombres  / Géométrie

 

 

 

 

Le programme de LANGLANDS

La correspondance de Langlands

Les conjectures de Langlands

 

Le plus important des concepts mathématiques des dernières décennies. Inutile de dire que ce concept est hors de portée de la majorité d'entre nous, sauf à être titulaire d'un bon bagage supérieur en mathématiques.

Un des mathématiciens participant à ce programme, Edward Frenkel, s'est pourtant livré à un exercice de vulgarisation dans son livre Amour et Maths. Il faut néanmoins bien s'accrocher!

 

 

 

Quelques mathématiciens du programme Langlands

 

Robert P. Langlands (né en 1936) est un mathématicien canadien né en Colombie britannique. Il est célèbre pour avoir adressé (1967) une lettre de 17 pages à André Weil, contenant  ce que certains considèrent comme l'équivalent des théories d'unification de la physique quantique mais dans le domaine des mathématiques.

Robert Langlands a reçu le prix Abel en 2018 pour ses travaux sur le programme mathématique qui porte son nom.

André Weil (1906-1998), mathématicien français de l'Institute for Advanced Study de Princeton (proche de New-York) est l'un des grands noms de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique.

Travaux sur la conjecture de Riemann.

Un des membres fondateur du groupe Bourbaki.

Travaux sur la fameuse conjecture Shimura-Taniyama-Weil, celle-ci, qui a été prouvée dans son intégralité en 1999, peut être considérée comme l'un des éléments du programme de Langlands.

 

En 2002, le mathématicien français Laurent Lafforgue (né en 1966) a reçu la médaille Fields en 2002 pour avoir démontré une partie des conjectures de Langlands.

En 2000, après un passage au CNRS, il est professeur de mathématiques à l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS).

 

Edward Frenkel (né en 1968 en Russie) est professeur de mathématiques à Berkeley. Mathématicien juif prodige, empêché dans ses études supérieures, il répond positivement à l'appel des mathématiciens américains.

Ses travaux sur l'algèbre affine de Kac-Moody, lui offriront l'occasion de participer au programme de Robert Langlands.

Il se fera remarqué pour avoir tatoué la formule de l'amour sur le corps de sa compagne.

 

En 2010, Ngo Bao Chau, mathématicien français né en 1972 au Vietnam, travaille sur le programme de Langlands. Médaille Fields en 2010.

D'abord au CNRS, puis à l'université de Paris 13 (Labo LAGA), il rejoint Princeton en 2007, puis l'université de Chigago en 2010.

En 2004, Gérard Laumon et lui démontrent le lemme fondamental du programme de Langlands

Voir Contemporains

 

 

 

Approche

Connexions entre domaines mathématiques

L'analyse mathématique est un domaine des mathématiques qui est consacré aux calculs exacts de systèmes compliqués en traitant de très petites quantités.

La trigonométrie utilise ces techniques pour définir les relations entre les angles de figures géométriques.

Les fonctions trigonométriques (sinus et cosinus) sont aussi utilisées pour décrire des phénomènes ondulatoires.

L'étude des ondes et leur décomposition en tranches de fréquence s'appelle l'analyse harmonique (comme les harmoniques d'un son). L'outil adéquate s'appelle la transformée de Fourier.

La théorie des nombres qui traite de relations entre les nombres entiers. L'exemple typique étant la démonstration du théorème de Fermat-Wiles.

La résolution générale des équations a conduit Galois à lancer la notion de groupe et de symétries.

La symétrie caractérise un objet dont les propriétés sont conservées suite à un mouvement dans l'espace ou dans le temps.

Un groupe rassemble des éléments qui partagent tous les mêmes propriétés de symétrie, les mêmes quel que soit l'ensemble d'éléments.

 

Le programme de Langlands tente de mettre en évidente des propriétés mathématiques communes à tous ces domaines; à établir un pont entre la théorie des nombres et l'analyse harmonique; de réaliser une grande théorie d'unification des domaines mathématiques.

Son ambition est de mettre au jour les relations complexes entre la théorie des nombres, la géométrie algébrique et la théorie des représentations de certains groupes

 

 

 

 

Programme de Langlands en bref

 

Le plus important concept des mathématiques qui est apparu dans ces clinquantes dernières années: la Grande Théorie d'Unification des mathématiques. Ce champ de recherche fascinant jette des ponts prometteurs entre des domaines mathématiques qui paraissent à des années-lumière les uns des autres: algèbre, géométrie, théorie des nombres, analyse et physique quantique.  

–Edward Frenkel

 

Expliquer ce qu’est le programme de Langlands n’est pas chose facile. Celui-ci mélange l’analyse harmonique sur les groupes topologiques non commutatifs, l’arithmétique des groupes de Galois de corps de nombres et la géométrie arithmétique.

Très concrètement, il s’agit de comprendre certaines séries génératrices de la forme:

 

Le programme de Langlands fait référence à un ensemble surprenant de comportements mathématiques existant en théorie des nombres et que 'on retrouve en analyse harmonique.

Formulé sous forme de conjectures, les preuves sont plus difficiles à trouver qu'envisagé par Langlands. Néanmoins certaines parties sont prouvées, comme celle démontrée par Laurent Lafforgue en 2002.

En 2004, Ngo Bao Chau  et Gérard Laumon démontrent le lemme fondamental. Celui-ci stipule que certaines intégrales associées à deux types différents d'intégration dans deux groupes sont équivalents.

 

 

PONTS entre

Analyse harmonique / Théorie des nombres  / Géométrie

Le Programme de Langlands  conjecture l'existence de liens très profonds entre plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques, notamment:

*      l'algèbre et l'arithmétique

via notamment les travaux sur la théorie de la résolution des équations algébriques prenant naissance dans les travaux sur les groupes de Galois d'un côté.

*      l'analyse harmonique

qui consiste à s'intéresser aux phénomènes ondulatoires (ondes lumineuses, gravitationnelles, ou sonores) en les "dépliant" dans le domaine fréquentiel grâce aux séries ou transformées de Fourier.

Dans le cas du programme de Langlands, c'est une branche bien particulière de l'analyse harmonique qui intervient et qui fait intervenir les équations différentielles, les fonctions fuchsiennes et les formes automorphes.

 

 

 

Image par Sandro Contenta: s'il est possible de prédire le son émit par un tambour d'après sa forme, il est aussi possible de prédire la forme du tambour d'après les sons émis. Idée de propriétés partagées dans un cas comme dans l'autre.

 

 

 

 

 

 

Suite

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DicoNombre

*    Nombre 17

Livres

*    De Fermat à Langlands – Tangente N°149 – Nov/déc 2012

Sites

*      Mathématiques : le prix Abel 2018 décerné à Robert Langlands – Futura Sciences

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Recap/Langland.htm