Définition

POLYNÔME

 

Expression de la forme:

 

ai  sont les coefficients du polynôme. Ce sont des réels (très souvent des entiers) relatifs, positifs, négatifs ou nuls.

 

n est un entier naturel.

 Exemples

Monôme:      x,    7x2 ,   – 10x17

Binôme:        x2 – 10,  x + 1,  x100 + 2 x50

Trinôme:    5x4 + 3x3 + x2

 

Un polynôme est une somme de monômes.

Extension

La notion de polynôme s'étend à un nombre quelconque de variables: x, y , z …

 

Un polynôme est homogène et de degré n si tous les monômes qui le composent sont de degré n, l'un au moins n'étant pas nul.

 

Vocabulaire

 

Le terme 4x3 est un monôme de degré 3 et 3 est l'exposant de x.


Dans le polynôme 2x² + 3x + 5, le nombre 5 est la constante. Ce polynôme comportant trois termes est un trinôme.

 

Le degré d'un polynôme est la plus haute puissance apparaissant dans sa forme réduite. La valuation d'un polynôme est le plus petit exposant apparaissant dans sa forme réduite.

 

Un polynôme dont tous les coefficients sont nuls est un polynôme nul.

 

Si un polynôme de degré n s'annule pour n+1 valeurs réelles distinctes, alors il est nul.

 

Deux polynômes son égaux s'ils ont même degré et si les coefficients des monômes de même degré sont égaux.

 

Fonction

Fonction polynomiale: fonction (application) telle que:

f(x) = an . xn + an-1 . xn-1 + … + a1 . x + a0

 

Il est possible de calculer la valeur de f(x) pour une valeur donnée de x; on note f(3) = … ou f(–2) = … etc.

 

  Cette fonction affine est un binôme du premier degré.

  Cette fonction est un trinôme du deuxième degré.

 

Les fonctions polynôme sont définies, continues et dérivables sur .

 

La limite d'une fonction polynôme quand  x tend vers  est la limite de son monôme de plus haut degré quand x tend vers . Même chose pour moins l'infini.

Division

Factorisation

Équation

Le polynôme P est factorisable par le polynôme Q s'il existe un polynôme Q tel que: P = Q  R.

 

 

Équation polynomiale: équation telle que f(x) = 0.

 

Un polynôme de degré au moins égal à 1 s'annule pour une valeur a si et seulement si il existe un polynôme Q tel que, pour tout x réel:  P(x) =  (x – a) Q(x).

 

La recherche des racines a se fait par identification ou au moyen de la division des polynômes.

 

Théorème fondamental de l'algèbre

 

Un polynôme de degré n a exactement n racines distinctes ou confondues, réelles ou complexes

 

PGCD

Le PGCD de deux polynômes P(x) et Q(x) est le plus grand polynôme qui divise à la fois chacun des polynômes P(x) et Q(x).

Un polynôme est irréductible si aucun polynôme de degré inférieur ne peut le diviser (à l'exception des constantes).

Compléments

Le coefficient an de xn est le coefficient dominant.


Si le coefficient de xn est égal à 1, le polynôme est un polynôme unitaire ou normalisé.

Un polynôme écrit avec ses monômes en puissance décroissante (ou croissante) est dit polynôme ordonné.

Un polynôme sans constante a une valuation strictement positive.

Un polynôme ne comprenant que sa constante (a0) a un degré nul.

Un polynôme nul, par convention, a un degré  et une valuation .

Référence: Mathématiques L1 – Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini

 – Pearson  Éducation – 2007

 

Les coefficients appartiennent à un anneau. Les polynômes munis des lois d'addition et de multiplication forment également un anneau.

La somme de deux polynômes, le produit d'un polynôme par un réel, le produit de deux polynômes sont des polynômes.

Le degré du polynôme somme est le degré le plus élevé des deux polynômes de départ. Le degré d'un produit est le produit des degrés des deux polynômes de départ.    

Complexe

Un polynôme complexe s'obtient en remplaçant à la fois x et les coefficients par des nombres complexes.

Par exemple: z² + (2 + 3i) z – (1 – 2i)

Anglais

A POLYNOMIAL

An expression of finite length.

Let a0, a1, ...,an be real numbers, then


is a polynomial in x (with real coefficients).

When the coefficients are not all zero, it can be assumed that an  0 and the polynomial has degree n.

 

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