NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  Analyse

 

Débutants

Logarithme

LOGARITHME

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

Introduction

Calcul

Exemples

Changement de base

Propriétés

Décibel

EXPONENTIELLE

Table

Maths

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Historique

>>> Applications

 

 

 

 

LOGARITHMES & EXPONENTIELLES

HISTORIQUE

 

de   logos = rapport, relation et   arithmeticos = nombre

 

Lorsque l'astronomie s'est développée, les calculs nécessaires devenaient hypercomplexes. Comment simplifier les calculs?  Les marins, demandeurs de simplification, suscitèrent l'invention des logarithmes.

 

Johannes Kepler (1571 – 1630) s'y est attaqué.

John Neper invente les logarithmes, une sorte particulière de nombres possédant une dynamique "compressée" telle que la multiplication de tels nombres se transforme en addition.

 

 

Idée du logarithme

 

Échelle linéaire

 

Échelle logarithmique

*   Chaque tranche décuplée revêt la même importance.

*   Permet de représenter des plages de nombres de grande dynamique.

*   Les petites valeurs sont privilégiées par rapport aux très grandes.

*   Transforme les opérations multiplications et divisions en additions et soustractions (non montré sur cette illustration).

 

Voir Les bases des logarithmes

 

 

ARCHIMÈDE

 

*  En voulant compter le nombre de grains dans un tas de sable, Archimède propose de représenter les grands nombres par des puissances de 10.

*  Il ne passe pas loin des logarithmes avec son astuce de calcul du produit des grands nombres.

*  Le système de notation des nombres de l'époque l'empêche de progresser et surtout de faire adopter ce genre d'idée.

 

 

Archimède

(287-212 av. J.-C

 

 

BESOINS

 

*  Vers les années 1500 et 1600, on commençait à faire des calculs de plus en plus complexes avec de grands chiffres.

*  C'était le cas des astronomes et des navigateurs.

*  Car, ils utilisaient la trigonométrie sphérique.

*  L'astronome Kepler (1571 - 1630), lui-même, avait tenté d'alléger les calculs; il utilisera les tables de Neper.

 

Simplifier les calculs de trigonométrie sphérique

 

 

Jost BÜRGI – Astronome suisse

 

*  En 1620, Bürgi, indépendamment de Neper, publie une table de log. Il avait choisi 1,0001 comme base.

*  En 1588, pour faciliter ses calculs, Bürgi développe le premier système logarithmique connu.

 

!!! Information à vérifier

Simplifier les calculs trigonométriques en astronomie

 

 

John NAPIER (1550 – 1617)

 

*  Il invente les logarithmes et, du coup, remplace les multiplications par des additions.

*  La simplification est telle que cette découverte se propage à grande vitesse.

*  En 1614, Neper  publie la première table de log

Plutôt un tableau de correspondance de sommes face à des produits

 

*  Sa définition des logarithmes était plutôt géométrique et non selon une base. Il pose:

          x = 107 (1 - 10-7)y

 

*  et donne le nom de logarithme à y

          y = log x

 

 

 

John Napier ou Neper, baron de Merchiston (près d'Édimbourg), mathématicien écossais. Étudiant, il fait partie du mouvement de la Réforme en Écosse.

 

Livre: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614)

 

Il est le premier à utiliser le point décimal (virgule en France) pour exprimer des fractions

 

Il invente la réglette de Napier, ébauche de la machine à calculer.

 

 

Table

Étant étudiant (années 1960), ma table de logarithmes (Laborde) ne comportait que cinq décimales et des indications d'extrapolation. C'était avant l'avènement des calculettes, bien entendu.

En 1845, Gray publiait des tables avec douze décimales, puis en 1867, une table avec 27 décimales.

 

 

 

 

MODERNES

 

*  Briggs (1561-1630) et Wright (1560-1615) calculent des tables de logarithmes décimaux et précisent comment les utiliser pour calculer des angles avec leur sinus ou tangente et réciproquement.

 

*  En 1624, Briggs publie la table des logarithmes décimaux des 30 000 premiers nombres avec 14 décimales. Elle est complétée en 1628 par Adriaan Vlacq (1600-1167) avec une précision de 10 décimales.

 

*  En 1661, Christiaan Huygens (1629-1695) identifie les logarithmes naturels (ou népériens).

 

*  Gunta (1581-1626) et Wingate (1596-1657) inventent la règle à calcul.

 

*  Mercator (1620-1687) et Newton (1642-1727) définissent les notions de fonctions logarithmes et exponentielles.

 

*  En 1697, Gottfried Leibniz (1646-1716) met en évidence la fonction algorithme et sa fonction réciproque exponentielle.

 

*  Puis, mise en place des techniques de calcul.

 

*  Euler (1707 – 1783) travaille avec la constante "e".

 

 

 

 

APPLICATIONS

 

 

*  Interprétation de nombreux phénomènes:

*    physiques

*    biologiques

*    économiques

*    etc.

 

La constante e est la limite de (1 + 1/n)n , ce qui explique sa fréquente apparition dans les problèmes mathématique, notamment des intérêts composés

 

*  Divers types de logarithmes selon la base utilisée et leur extension.

décimaux => physique

binaire      => informatique; théorie de la complexité

népérien   => maths

complexe => maths (généralisation)

discret      => maths (généralisation)

*  Logarithmes décimaux.

Représentation => échelle logarithmique (tableur par exemple)

Chimie                => pH

Acoustique       => Décibel

*  Loi de Weber et Fechner
ou loi physiologique

La perception d'un stimulus visuel ou auditif est proportionnelle au logarithme de l'intensité.

*  Magnitude des étoiles

 

 

En 1956, Norman Pogson (1809-1891) définit la magnitude apparente des étoiles:

 

m = – 2,5 log10 (E / Ev)

 

Avec E l'éclat de l'étoile et EV celui de l'étoile Véga.

Une étoile qui paraît 100 fois moins brillante que Véga aura une magnitude apparente de 5, limite de l'observation à l'œil nu.

 

On avait pris comme référence que la magnitude absolue (M) est égale à la magnitude apparente (m) pour une distance de 10 parsecs. Selon la distance D, la relation est la suivante:

 

m = M + 5 (log10 D – 1)

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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DicoNombre

*    Ln 2 = 0,693…

*    Ln 10 = 2,302 …

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