NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/01/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

  Analyse

 

Débutants

Logarithme

LOGARITHME

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

Introduction

Calcul

Exemples

Changement de base

Propriétés

Décibel

EXPONENTIELLE

Table

Maths

Historique

x . ln(x)

 

Sommaire de cette page

>>> Valeurs typiques

>>> Logarithme d'un nombre négatif

 

 

>>> En gros

>>> Principale

>>> Valeurs

>>> Formules de Ramanujan

 

 

 

 

 

 

 

LOGARITHMES

 PROPRIÉTÉS & VALEURS

 

Recueil des propriétés et caractéristiques de la fonction logarithme.

 

 

 

Logarithmes naturels de quelques valeurs typiques

 

 

 

 

Logarithme d'un nombre négatif

 

Monde réel

La fonction logarithme

est l'inverse de la fonction exponentielle

La base b est positive (non égal à 1). La puissance sera positive. Ce qui impose à x d'être positive

Le logarithme d'un réel négatif est indéfini.

 

Note: y peut être négatif. Un exposant négatif correspond au même exposant en positif au dénominateur (5-2 = 1/52 = 1/25)

 

Monde complexe

Dans le monde des nombres complexes, la forme polaire s'écrit:

La fonction logarithme complexe devient:

Et, elle est définie pour les nombres complexes positifs comme négatifs.

 

Exemple:

 

Autre approche

ln(-10) = ln(10 x (-1))

                    = ln(10) + ln(-1)

avec

Voir Cette formule

ce qui donne:

ln(-10) = ln(10) +

                    = 2,303… + 3,141… i

 

 

Quelques valeurs de logarithme de nombres complexes négatifs

 

 

 

 

En construction

 

EN GROS …

-Ý-

 

Logarithme naturel ou NÉPÉRIEN (base e)

 

 

Logarithme DÉCIMAL (base 10)

 

 

Propriétés

§  Toute fonction logarithme est nulle en 1: elle coupe l'axe des x en x = 1

§  L'image réciproque de 1 s'appelle la base du logarithme: la droite y = 1 coupe la courbe pour la valeur de la base

§  La fonction logarithme est une bijection: un point de x entre 0 et l'infini a une image unique en y de moins l'infini à plus l'infini

 

Logarithme base e en vert et 2, 3, 4, 5, 8, 10 en noir

 

 

§  Notez que l'image des nombres 1 à 10 est ramenée dans une plage plus restreinte de l'axe des y

Ø Effet de compression de la dynamique

 

 

 

 

 

 

PRINCIPALES

-Ý-

 

§ La fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle

 

 

 

 

 

 

 

 

VALEURS remarquables

-Ý-

log 2 = log 10 2 =  0,30102999…

§  Logarithme décimal de 2

Calcul en remarquant que       210 ≈ 1000

et, en prenant la réciproque 10 log 2 ≈ 3

log 2 10  = 3,321928095

log 2   e = 0,3010299957

 

1/ log 2 10  + 1 / log 2 e = 0,9941771762 ≈ 1

§  Le logarithme d'un nombre en base 2 est presque égal à la somme des logarithmes naturel et décimal de ce nombre (erreur 0,58%)
            log 2 (x) ≈ ln (x) + log 10 (x)

 

 

 

Formules de Ramanujan

ln (2) =

 

0,69314 71805 59945

30941 72321 21458 18 …

 

 

 

 

La convergence est très lente. Pour 1000 itérations, la valeur ne comprend que 7 chiffres significatifs de ln(2).

 

Voir Ramanujan

 

 

 

ln (3) =

 

1,09861 22886 68109

69139 52452 36922 5 …

 

 

 

 

La convergence est également très lente. Pour 1000 itérations, la valeur ne comprend que 7 chiffres significatifs de ln(3).

 

 

 

 

0,58224 05264 65012 50592 …

(En rouge valeur pour k = 100)

 

 

 

 

 

 

0,95023 96051 16643 25903 …

(En rouge valeur pour k = 10)

Avec Phi le nombre d'or: 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*   Décibel

*    Logarithmes – Calcul

*    Logarithmes et tout nombre

Voir

*    Arrondis avec logarithmes

*    Calcul des factorielles avec les logs

*    Croissance

*    Constantes Mathématiques

*    Courbes élémentaires

*    Échelle de Richter

*    Exponentielle

*    ExposantsIndex

*    Exposants et puissances

*    Morphisme

DicoNombre

*    Ln 2 = 0,693…

*    Ln 10 = 2,302 …

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/LogaProp.htm