NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Chiffres

 

 

INDEX

 

Formes et chiffres

 

Jeux avec les nombres

 

Cent

Tous les chiffres

Autres chiffres

Nombre 24

Quatre 4

Douze

Un à cinq chiffres

Additions seules

1 + 2 – 3 … = N

 

Sommaire de cette page

>>> Trois chiffres

>>> Quatre chiffres

>>> Cinq chiffres

>>> Six chiffres et plus

>>> Addition-soustraction de jusqu'à 6

>>> Programmation de la recherche

>>> Bilan et appel à solutions

 

 

 

 

N avec k chiffres successifs

et les quatre opérations

 

Obtenir N comme résultat d'une opération combinant les chiffres successifs dans l'ordre et les quatre opérations. Certains cas ne sont pas si simples.

Une variante classique consiste à trouver toute les configurations possibles pour arriver à N = 1.

Les parenthèses et la concaténation sont autorisées. Tous les nombres sont tous positifs, y compris le "1" en tête.

 

Exemples

 

 

 

Trois chiffres

Nous devons placer un opérateur dans chaque carré, comme pour:
1 + 2 – 3 = 0

 

Les parenthèses sont autorisées, comme pour:
(1 + 2) / 3  = 1

 

La concaténation (symbolisée par des crochets)  est autorisée, comme pour:
12 / 3 = 4

 

Le nombre 3 résiste à cette épreuve!

 

 

Pour N de 0 à 7

1

2

3

=

N

1

+

2

3

=

0

(1

+

2)

/

3

=

1

1

2

+

3

=

2

1

 

2

 

3

=

3

[1

 

2]

/

3

=

4

(1

×

2)

+

3

=

5

1

+

2

+

3

=

6

1

+

2

×

3

=

7

 

En jaune, configuration à noter.

En rose, configuration non résolue.

 

Artifices pour obtenir le 3

 

Sans ordre et avec l'opération factorielle, on pourrait faire:

 

Ou encore avec la puissance nulle:

 

 

Voir Artifices pour le jeu du quatre 4

 

 

 

Quatre chiffres


 

 

La simple somme des quatre premiers chiffres donne 10 (jaune).

 

L'addition-soustraction des nombres 1 à 4 permet d'atteindre les nombres N = (0, 2, 4 et 6) >>>

 

Deux lignes remarquables:
la somme qui donne 10, et
le produit qui donne 24

 

Le premier nombre résistant est 7.

 

Certains nombres (comme 17) sont atteignables à condition d'introduire l'opération factorielle.

 

Pour N de 0 à 25

 

1

2

3

4

=

N

1

2

3

+

4

=

0

(1

×

2)

+

3

4

=

1

1

+

2

+

3

4

=

2

1

+

(2

×

3)

4

=

3

1

+

2

3

+

4

=

4

[1

 

2]

3

4

=

5

1

2

+

3

+

4

=

6

1

 

2

 

3

 

4

=

7

[1

 

2]

/

3

+

4

=

8

(1

×

2)

+

3

+

4

=

9

1

+

2

+

3

+

4

=

10

1

+

(2

×

3)

+

4

=

11

1

 

2

 

3

 

4

=

12

(1

+

2)

×

3

+

4

=

13

1

 

2

 

3

 

4

=

14

1

+

2

+

(3

×

4)

=

15

1

 

2

 

3

 

4

=

16

1

2

3!

+

4!

=

17

1

 

2

 

3

 

4

=

18

[1

 

2]

+

3

+

4

=

19

1

+

[2

 

3]

4

=

20

1

+

2

3!

+

4!

=

21

1

 

2

 

3

 

4

=

22

1

 

2

 

3

 

4

=

23

1

×

2

×

3

×

4

=

24

1

+

2

×

3

×

4

=

25

 

 

 

Cinq chiffres

 

 

L'addition-soustraction des nombres 1 à 5 permet d'atteindre les nombres N = (1, 3, 5, 7, 9, 11 et 15) >>>

 

 

 

Pour N de 0 à 7

 

1

2

3

4

5

=

N

(1

+

2)

/

3

+

4

5

=

0

1

+

2

3

4

+

5

=

1

(1

+

2)

/

3

4

+

5

=

2

1

2

+

3

4

+

5

=

3

1

(2

×

3)

+

4

+

5

=

4

[1

 

2]

/

3

4

+

5

=

5

1

+

(2

×

3)

+

4

5

=

6

1

+

2

+

3

4

+

5

=

7

 

 

 

Six chiffres et plus

 

Avec 6 chiffres

 

Exemple pour 1

 

 

1

2

3

4

5

6

=

N

[1

 

2]

+

3

4

5

6

=

0

1

2

3

+

4

5

+

6

=

1

[1

 

2)

/

3

4

5

+

6

=

1

([1

 

2]

/

(3

×

4)

+

5)

/

6

=

1

([1

 

2]

3

+

4

5

+

6

=

2

 

 

Avec 7 chiffres

 

Exemple pour 1

 

 

1

2

3

4

5

6

7

=

N

1

+

2

3

4

+

5

+

6

7

=

0

[1

 

2]

/

3

+

4

+

5

6

7

=

0

[1

 

2]

/

3

+

4

+

[5

 

6)

/

7

=

0

([1

 

2]

/

(3

+

4

+

5)

+

6)

/

7

=

1

[1

 

2]

/

3

+

4

5

+

6

7

=

2

[1

 

2

3]

[4

5]

[6

7]

=

11

 

 

 

Avec 8 chiffres

 

Exemple pour 1

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

=

N

1

2

+

3

4

5

+

6

7

+

8

=

0

[1

 

2]

[3

 

4]

[5

 

6]

+

[7

 

8]

=

0

(([1

 

2]

/

(3

×

4)

+

5)

/

6

+

7)

/

8

=

1

1

2

3

+

4

5

+

6

7

+

8

=

2

 

 

 

Avec 9 chiffres

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

=

N

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

=

0

1

+

2

3

+

4

5

6

+

7

8

+

9

=

0

(1

+

2)

×

3

×

4

5

6

7

8

9

=

1

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

=

2

1

+

2

3

4

+

5

6

+

7

8

+

9

=

3

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

=

4

1

2

+

3

4

+

5

6

+

7

8

+

9

=

5

[1

2]

[3

4]

[5

6]

+

[7

8]

+

9

=

9

 

 

 

 

 

Addition-soustraction de jusqu'à 6

 

Ce diagramme montre les nombres atteints par l'addition et ou la soustraction des nombres successifs de 1 à 6.

Partant de 1, en ajoutant 2, on a "3" et en les retranchant on a "–1". De ces deux points on ajoute et on retranche 3 qui donne: (6, 0, 2 et -4). Etc.

Les points rouges symbolisent les nombres atteints par la somme algébrique.

 

 

Bilan: le 0 est atteint deux fois; le 1 est obtenu 3 fois; pour le 2, on a deux chemins possibles; etc.

Alors que tous les nombres de 0 à 7 sont tous atteints une ou plusieurs fois, le nombre 8 est intouchable; puis le 12 et le 14. Pour ces nombres, il faudra faire intervenir d'autres opérations pour satisfaire notre jeu.

 

Suite jusqu'à 10 – Valeurs positives seulement

Notez qu'il est impossible d'atteindre une valeur impaire avec 3 ou avec 4. Il faut aller à la ligne 7 pour atteindre tous les nombres de 0 à 18.

 

 

 

Programmation de cette recherche

 

Mise en place d'une procédure qui transforme une liste L et une liste LL contenant les éléments de L plus a et les mêmes moins a.

LL est la liste de résultats et q sa quantité d'éléments de la liste proposée.

Pour chacun d'eux (de 1 à q), on calcule la somme et la différence avec a.

La liste LL est retournée.

 

 

 

 

Le programme principal imprime les listes successives.

La première est imprimée séparément.

La recherche se fait pour les valeurs successives de a (ici de 2 à 3 et dans le tableau ci-dessus de 1 à 10).

La nouvelle liste sert de liste proposée pour la suite (L:=M).

Impression de a et de la liste correspondante.

 

 

Impression des listes calculées avec valeurs positives comme négatives.

Voir Programmation

 

 

Bilan et appel à solutions

Certaines énigmes proposent de trouver l'une ou l'autre de ces égalités. La difficulté est inégale selon le nombre N à trouver ou la quantité de chiffres impliquée.

Vous aurez sans doute d'autres solutions que celles proposées.  Par contre, pour celles non satisfaites, vous pouvez toujours me les proposer et je les publierai.

Une piste que je n'ai pas explorée concerne l'utilisation de l'opérateur "valeur absolue" qui permettrait de soustraire un grand nombre d'un petit et de prendre le résultat sans signe.

 

 

 

 

Suite

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