NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTIONS

 

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Fractions

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Fractions

 

 

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Fractions

 

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Sommaire de cette page

>>> Exemple de calcul avec pi

>>> Méthode par divisions successives

>>> Calculs avec Maple

>>> Cas des racines

 

 

 

 

 

FRACTIONS CONTINUES

CALCULS

 

Exemple de calculs et utilisation d'un logiciel de calcul.

 

 

 

 

Calcul pour Pi

 

  = 3, 141 592 653 589 793 2385 …

 

 Calcul

 

 

 

 

 

 

3

7

 

La fraction 355/113 est une approximation courante de Pi. Les fractions obtenues à partir du calcul des fractions continues sont appelées des réduites de Pi (Anglais: convergents).

 

Fraction continue de Pi

 

 

Voir suite des composantes en  Valeurs

 

Réduites de Pi

 

Formule de Brouncker

 

 

 

 

 

  

 Méthode de calcul par divisions successives

Comment trouver cette fraction continue ?

 

 

 

111 / 11 = 10, 090909...

               = [10 ; 11]

 

Calcul

1) On divise normalement 111 / 11

111

11

1

10

Résultat 10 reste 1

 

2) Le diviseur 11 devient le dividende de l'opération suivante : 11 / 1

11

1

0

11

Résultat 11 reste 0

 

3) Poursuivre jusqu'à obtenir un reste nul.

Ce qui est déjà le cas dans cet exemple simple.

 

Notation en division cascade

 

111

11

11

1

10

0

11

 

Autre exemple, avec la notation

 

200 / 111 = 1,801 801...

                 = [1 ; 1, 4, 22]

 

 

 

 

 

 

200

111

 

 

111

89

1

 

89

22

1

 

22

1

4

 

 

0

22

 

 

 

 

 

 

 

Calculs avec Maple

Conversion d'un rationnel ne faction continue: instruction confrac.

 

Conversion de Pi avec 20 termes

Conversion du nombre d'or (Phi) avec 11 termes (par défaut).

Obtention des réduites

Conversion d'une fraction continue en rationnel

 

La fraction continue dont les termes sont tous égaux à 2 est égale à 1 + racine de 2.

Maple sait reconnaitre certains nombres avec l'instruction: identify.

 

Avec des 4, la fraction continue représente le nombre 2 + racine de 5.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Suite

*    Fractions continues et réduites de quelques constantes

*    Fractions continues – Calculs

*    Algorithme d'Héron: calcul des racines

Voir

*    FractionsGlossaire

*    Fractions- somme égale à 1

*    Multiplication des fractions

*    Nombres Périodiques

*    Nombres rationnels, irrationnels, transcendants

*    Racines continues

*    Rationnels, irrationnels, transcendants

*    Suite de Farey et calendriers

*    Tables de nombresIndex

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