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Algèbre

 

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Algèbre

 

 

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Rogers-Ramanujan

Terminale +

 

Sommaire de cette page

>>> Rappel sur les séries géométriques

>>> Identités de Rogers-Ramanujan

>>> Identités n°1 – Explication et vérification

>>> La fraction continue de Rogers-Ramanujan

>>>  Retour sur les égalités

 

 

 

 

IDENTITÉS & FRACTIONS CONTINUES

de ROGERS-RAMANUJAN

 

Deux identités expliquées qui conduisent aux fractions continues spéciales de Rogers et de Ramanujan.

Cette fraction continue n'est généralement pas d'un abord facile. La démarche de Gaurav Bhatnagar, mathématicien indien, m'a semblé simple et logique, même si la fin du raisonnement est d'un niveau élevé. Laissez-vous guider pour découvrir cette magnifique œuvre.

 

 

Historique

En 1913, Ramanujan, alors un employé indien inconnu,  envoie ses lettres  à Hardy, un mathématicien britannique, qui les trouva époustouflantes: "elles me renversèrent complètement; Pour le moins, je n'avais jamais vu quelque chose de cette sorte avant (they defeat me completely; I had never seen anything in the least like them before)".

Parmi les beautés trouvées, les identités, objet de cette page, circulèrent parmi les mathématiciens, mais personne, Ramanujan compris, n'était capable de les démontrer.

Un jour, lisant de vielle coupure de journaux, Ramanujan tombe sur un article édité en 1894 par un mathématicien anglais nommé Leonard Rogers (1862-1933). En s'associant, les deux mathématiciens éditèrent la démonstration de ces identités en 1919.

En 1917, Schur les recouvre.

 

 

 

 

Rappel sur les séries géométriques

Série géométrique pour

 

Exemple: avec q = ½, G = 2

Le calcul jusqu'à q6 donne 1,9843….

Prenons la série finie:

Démonstration en multipliant par (1 – q).

On peut aussi l'écrire:

Limite pour n infini,

Avec qn tendant vers 0:

 

 

 

Identités de Ramanujan

 

 

 

 

 

 

 

 

Identités n°1 – Explication et vérification

Forme générique

Les termes à gauche de l'égalité sont du type:

 

Ceux de droite sont de deux types:

 

Vérification de l'égalité

Il est possible de calculer ces termes en remplaçant  chaque fraction par la somme infinie équivalente.

 

 

En se limitant  à q10 et aux expressions telles qu'indiquées on trouve pour les premiers termes suivants.

(Calculs exécutés avec le logiciel Maple)

 

À gauche

À droite

 

 

 

Faisons le point

Nous venons d'aborder deux identités qui semblent bien élégantes, certes; mais à quoi peuvent-elles bien servir. Nous allons les retrouver à la fin de notre exploration des fractions continues spéciales introduites par Rogers et par Ramanujan.

 

 

La fraction continue de Rogers-Ramanujan

Fraction continue classiques

Fraction continue du nombre d'or:

Calcul des réduites (exemple). Voyez comme il est facile de passer d'une réduite à la suivante.

Réduites successives: on y retrouve les  nombres de Fibonacci.

Elles conduisent à la formule de récurrence et à définition des nombres de Fibonacci.

 

 

Fraction continue généralisée

Introduction d'un facteur q au numérateur avec une puissance correspondant à son étage.

Calcul des réduites:

 

Note: pas facile de passer directement d'une réduite à la suivante comme pour les fractions continues classiques.

Peut-on trouver un truc pour y arriver tout de même?

Fraction continue de Rogers-Ramanujan

Introduction d'un paramètre z.

 

 

La récurrence est alors possible, comme nous allons le voir.

 

Calcul des réduites:

Une relation semble se dégager entre le numérateur de l'un et le dénominateur du suivant.

 

Appelons Hn(z,q) le numérateur

Exemple:

Soit la relation de récurrence générique, en multipliant par Hn-1.

Pour résoudre cette identité, on suppose que H est égal à une série  (somme infinie).

 

Nouvelle relation de récurrence avec ces séries.

Comparaison des coefficients:

 

En itérant de k – 1  jusqu'à 0, on trouverait:

En prenant a0 = 1

Voyez la notation adoptée.

 

Retour à la fraction continue généralisée (avec z = 1)

Conclusion

 

 

 

 

La fraction continue de Rogers-Ramanujan est le rapport entre ces deux sommes. Sommes que nous avons déjà vues en début de page.

Nous savons que toutes deux se transforment également en produits.

 

 

Retour sur les égalités

La gauche de notre première identité

 

Avec la conversion en séries géométriques:

En multipliant par (1 – q)

 

On continue

 

Finalement

 

 

Les puissances sont en 5m+1 ou 5m+4.

On devine les deux identités suivantes; ce sont celles énoncées en début de page, mais avec les notations introduites ci-dessus.

 

Identités de Rogers-Ramanujan

 

 

 

 

 

Suite

*    Applications des fractions continues de Rogers-Ramanujan (valeur de Phi)

*    Autres identités importantes

Voir

*    Application aux multiplications

*    Constantes

*    Différences entre puissances

*    Égalités dans les triangles

*    Factorisation selon Fermat

*    Identité de Lagrange

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Quelques développements de Taylor

*    Somme

*    Somme de carrés de nombres consécutifs

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

Sites

*    How to discover the Rogers-Ramanujan Identities – Gaurav Bhatnagar – 2015 – Page qui a servi de modèle à celle-ci.

*    Rogers-Ramanujan continued fraction – Wikipedia

*    Rogers-Ramanujan continued fraction – Wolfram Mathworld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ramanuja.htm