NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres irrationnels

>>> Propriétés

>>> Lambert

>>> Constante de Khintchine et constante de Lévy

 

 

 

 

   

Nombres irrationnels 

 

*    Un nombre est rationnel

si et seulement si

sa fraction continue est finie.

 

*    La fraction continue la plus simple est celle qui donne le nombre d'or.

 

*    Le développement en fractions continues fournit toujours la meilleure approximation rationnelle possible.


On utilise ce type de fractions pour représenter les nombres irrationnels par une suite de fractions sans fin.

 

En se limitant à un certain nombre de fractions, on obtient une approximation de ce nombre, dite " réduite " de ce nombre.

 

 

Exemple:     22/7 ou 355 / 113

 

Voir Constante Pi

 

 

 

  Propriétés

 

*    Tout développement périodique correspond à un irrationnel quadratique de la forme a +  b, où a et b sont des rationnels.

 

 

*    Si un nombre est quadratique, c'est à dire de la forme  p / q + (r / s) , alors, son développement est périodique.

 

*    Si un nombre a un développement en fraction continue périodique, alors il s'écrit  p / q +  (r  / s)  avec p, q, r, s entiers.


 

 

Exemples

 

 

 

 

 

LAMBERT

 

Irrationnels

En utilisant les fractions continues, Lambert a montré, que:

 

 Si x est rationnel

Alors e x et tg (x) sont irrationnels

 

et, en conséquence

 

  est irrationnel

 

Transcendance 

 

La relation d'Euler donne:

 

 

Ne pas conclure en utilisant hâtivement le théorème de Lagrange. En fait, e et p sont transcendants.

 

 

 

Questions ouvertes:

 

  • Comment la régularité correspond à un nombre déterminé?

 

  • Propriétés des nombres irrationnels cubiques, comme 32

 

  • Pour quels nombres les termes du développement ont-ils une limite supérieure ?

 

  • Etc.

Voir Fonction de Lambert

 

                 

Constante de Khintchine et constante de Lévy

 

Constante de Khintchine (1934)

 

Elle se rapporte à la moyenne géométrique des quotients partiels de la fraction continue.

 

Pour certains nombres irrationnels cette moyenne tend vers une constante K, dite constante de Khintchine (ou Khinchin).

 

Tous les nombres ne suivent pas cette tendance; notamment les nombres rationnels, les racines des polynômes du second degré à coefficients rationnels et quelques autres (constante e, nombre d'or) . Soit, une faible part des nombres réels.

Records de 110 000 décimales en 1998 par X. Gourdon (info de 2010).

 

Formules


 

 

Fraction continue de Pi

 

Liste des quotients partiels

Pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1]

 

Produit de ces valeurs

183 960

 

Moyenne géométrique pour ces 10 valeurs

183 9601/10 = 3,361…

 

Moyenne géométrique pour 5 000 valeurs

                       2,665857664

 

Moyenne géométrique pour une quantité infinie de valeurs

                 K = 2,685452001

 

Convergence

Elle est extrêmement lente!

Pour la racine cubique de 10 et 500 termes, on obtient : 2,788… et avec 5000 termes: 2,651… encore loin de la valeur K.

 

 

Constante de Lévy

 

Elle se rapporte aux dénominateurs des réduites des développements d'un nombre en fractions continues (fractions partielles).

Trouvé par Paul Lévy (1886-1971).

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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*         Rationnels, irrationnels, transcendants

*         Nombres Périodiques

*         Suite de Farey et calendriers

DicoNombre

*         Nombre 2,6854…

*         Nombre 3,2758…

Sites

*         Constante de Khintchine – Wikipédia

*         La constante de KhintchineNicolas Mascot – 2012

*         Khinchin's Constant – Wolfram MathWorld

*         OEIS A002210 – Decimal expansion of Khintchine's constant.

*         On the Khintchine constant – David Bailey et al.

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