NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

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Probabilités et Dés

Table 1 à 6 dés

Trois dés et une urne

Proba. mêmes chiffres

 

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Les quatre questions

>>> Combinaisons ordonnées

>>> Combinaisons primitives

>>> Particulières primitives

>>> Particulières ordonnées

>>> Configurations particulières

 

Bilan pour

>>> 2 dés

>>> 3 dés

>>> 4 dés

>>> 5 dés

>>> 6 dés

>>> 7 dés

 

 

 

Avec deux à six dés

Combien de configurations avec mêmes chiffres ?

 

On lance six dés. On veut savoir combien de fois on retrouvera la configuration AAAABB comprenant quatre fois le même chiffre et deux fois un autre, quels que soient ces chiffres (de 1 à 6, bien sûr).

Une occasion de réviser les méthodes de dénombrement.

 

 

 

Les quatre questions

Combien avec k dés ?

Général

Particulier

 

Combinaisons ORDONNÉES

Les dès sont lancés successivement et l'ordre d'apparition est respecté.

Les permutations des valeurs sont toutes prises en compte (136, 163 316, 361, 613 et 631)

 

Q1: combien de combinaisons ordonnées?

 

Avec k = 3, il y en a 216.

Q4: combien de combinaisons ordonnées pour une configuration donnée?

 

Avec k = 3, avec deux valeurs identiques, il y en a 90.

 

Combinaisons PRIMITIVES

Les dès sont lancé simultanément et les valeurs sont classées de la plus petite à la plus grande.

Une seule combinaison dite primitive représente toutes les permutations (136 pour 136, 163 …).

 

Q2: combien de combinaisons primitives?

 

Avec k = 3, il y en a 56.

Q3: combien de combinaisons primitives pour une configuration donnée?

 

Avec k = 3, avec deux valeurs identiques,  il y en a 30.

Voir  Tableau trois dés pour calcul de ces valeurs

 

 

Q1 - Combien de combinaisons ordonnées ?

 

Soit k dés alignés. Ils forment un nombre à k chiffres.

On cherche à calculer la quantité de ces nombres à k chiffres.

C'est l'équivalent d'un compteur. Chaque position peut prendre six positions.

 

QCO = 6k

 

Ex: k = 3, QCO =  63 = 216.

Liste

61, 362, 2163, 12964, 77765, 466566, 279936, 1679616, 10077696, 60466176, 362797056, 2176782336, 13060694016, 78364164096, 470184984576, 2821109907456, 16926659444736, 101559956668416, 609359740010496, 3656158440062976, …

 

 

Q2 - Combien de combinaisons primitives ?

Soit les six faces d'un dé. On en sélectionne k avec possible répétitions.

C'est un cas de choix à répétition.

 

 

Ex: k = 3,

 

Liste

61, 212, 563, 1264, 2525, 4626, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628, 15504, 20349, 26334, 33649, 42504, 53130, 65780, 80730, 98280, 118755, 142506, 169911, 201376, 237336, 278256, 324632, 376992, 435897, 501942, 575757, 658008, 749398, …  OEIS A00389

Programme Maple

Voir ProgrammationIndex

DicoNombre:  21 / 56 / 126 / 252 / 462 / 792 / 1287 / 2002 / 3003

 

 

Q3 - Combinaisons primitives particulières

Six dés dont quatre avec la même valeur (exemple)

 

On note cette configuration: AAAABC pour laquelle AAAA, B et C prennent les valeurs de 1 à 6, mais différentes. La quantité d'issues est le produit:

 

Vocabulaire: AAAABC est une configuration.

                             111145 est une issue.

  

Redondances

(3 exemples)

 

Avec la configuration AABB (illustration) les blocs AA et BB jouent le même rôle et, avec le calcul du produit,  les issues ont été comptées deux fois. Le produit doit être divisé par 2.

 

Avec AAAABC, les lettres B et C jouent le même rôle. Le produit doit être divisé par 2.

 

Dans le cas AAABCD, les trois lettres B, C et D jouent le même rôle. Il y a 3! permutations. Le produit est à diviser par 3!

 

Les trois dernières lignes sont redondantes.

Issues primitives

 

 

 

 

Q4 - Combinaisons ordonnées particulières

Anagrammes éligibles

 

On cherche toutes les anagrammes de la configuration AAAABC (comprenant quatre fois le même nombre) en tenant compte des redondances (ici égale à 2).

Issues ordonnées

 

 

 

Q5 – Identification des configurations particulières

Configurations

 

Chacune des configurations indique combien de chiffres sont identiques.

Exemple

*      ABC veut dire que les trois chiffres sont différents;

*      AAB que deux chiffres sont identiques;

*      AAA que les trois chiffres sont les mêmes.

  

Identification

 

Avec k dés, il y a autant de configurations que de partitions du nombre k.

 

Exemple avec k = 3

3 =

1 + 1 + 1

ABC

Ex: 555

2 + 1

AAB

Ex: 556

3

ABC

Ex: 456

   

 

  

Tableaux pour k de 2 à 6

 

DEUX DÉS

Config.

Produit

Red.

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AA

2

6

1

6

1

6

16,66… %

AB

1 + 1

6×5

= 30

2

30 × 1

30

83,33… %

Total

21

26 =

36

 

 

Liste des 36 issues possibles avec deux dés

 

TROIS DÉS

Config.

Produit

Red.

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AAA

3

6

1

6

1

6

2,77… %

AAB

2 + 1

6×5

= 30

1

30 × 3

90

41,66… %

ABC

1 + 1 + 1

6×5×4

= 120

3!

120 × 1

120

55,55… %

Total

56

36 =

216

 

 

Liste des 216 issues possibles avec trois dés

 

QUATRE DÉS

Config.

Produit

Red.

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AAAA

4

6

1

6

1

6

0,46… %

AAAB

3 + 1

6×5

= 30

1

30 × 4

120

9,25… %

AABB

2 + 2

6×5

= 30

2

30 × 3

90

6,94… %

AABC

2 + 1 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 6

= 720

55,55… %

ABCD

1+1+1+1

6×5×4×3

= 360

4!

360× 1

360

27,77… %

Total

126

46 =

1 296

 

 

 

CINQ DÉS

 

Config.

Produit

Red.

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AAAAA

5

6

1

6

1

6

0,077... %

AAAAB

4 + 1

6×5

= 30

1

30 × 5

150

1,92... %

AAABB

3 + 2

6×5

= 30

1

30 × 10

300

3,85... %

AAABC

3 + 1 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 10

= 1 200

15,43... %

AABBC

2 + 2 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 15

1 800

23,14... %

AABCD

2+1+1+1

6×5×4×3

= 360

3!

360 × 10

3 600

46,2... %

ABCDE

1+1+…+ 1

6×5×…×2

= 720

5!

720 × 1

720

9,26... %

Total

252

56 =

7 776

 

 

 

SIX DÉS

Config.

Produit

Red..

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AAAAAA

6

6

1

6

1

6

0,012... %

AAAAAB

5 + 1

6×5

= 30

1

30 × 6

180

0,385... %

AAAABB

4 + 2

6×5

= 30

1

30 × 15

450

0,964... %

AAAABC

4 + 1 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 15

= 1 800

3,85... %

AAABBB

3 + 3

6×5

= 30

2

30 × 10

300

0,64... %

AAABBC

3 + 2 + 1

6×5×4

= 120

1

120 × 60

7 200

15,43... %

AAABCD

3 + 1 + 1 + 1

6×5×4×3

= 360

3!

360 × 20

7 200

15,43... %

AABBCC

2 + 2 + 2

6×5×4

= 120

3!

120 × 15

1 800

3,85... %

AABBCD

2 + 2 + 1 + 1

6×5×4×3

= 360

360 × 45

16 200

34,72... %

AABCDE

2+1+1+1+1

6×5×…×2

= 720

4!

720 × 15

10 800

23,14... %

ABCDEF

1+1+…+1

6×5×…×1

= 720

6!

1

720 × 1

720

1,543... %

Total

462

66 =

46 656

 

 

SEPT DÉS

Config.

Produit

Red..

Issues

sans ordre

Anagrammes éligibles

Issues

avec ordre

Proba.

AAAAAAA

7

6

1

6

1

6

 

AAAAAAB

6 + 1

6×5

= 30

1

30 × 7

210

 

AAAAABB

5 + 2

6×5

= 30

1

30 × 21

630

 

AAAAABC

5 + 1 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 21

= 2 520

 

AAAABBB

4 + 3

6×5

= 30

1

30 × 35

1 050

 

AAAABBC

4 + 2 + 1

6×5×4

= 120

1

120 × 105

12 600

 

AAAABCD

4 + 1 + 1 + 1

6×5×4×3

= 360

3!

360 × 35

12 600

 

AAABBBC

3 + 3 + 1

6×5×4

= 120

2

120 × 70

8 400

 

AAABBCC

3 + 2 + 2

6×5×4

= 120

2

120 × 105

12 600

 

AAABBCD

3 + 2 + 1 + 1

6×5×4×3

= 360

2

360 × 210

75 600

 

AAABCDE

3+1+1+1+1+1

6×5×…×1

= 720

4!

720 × 35

25 200

 

AABBCCD

2+2+2+1

6×5×4×3

= 360

3!

360 × 105

37 800

 

AABBCDE

2+2+1+1+1

6×5×…×2

= 720

2×3!

720 × 105

75 600

 

AABCDEF

2+1+…+1

6×5×…×1

= 720

5!

720 × 21

15 120

 

ABCDEFG

1+1+…+1

/

 

0

 

0

 

Total

792

76 =

279 936

 

 

Page réalisée sur une idée d'Yvan Boulianne

 

 

 

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