NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Table 1 à 6 dés

Trois dés et une urne

Proba. mêmes chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> 2 dés

>>> 3 dés

>>> 4 dés

 

>>> 5 dés

>>> 6 dés

>>> 7 dés

 

 

 

 

Jeux de deux à six dés

Configuration avec mêmes chiffres

 

On lance successivement six dés. On veut savoir combien de fois on retrouvera la configuration AAAABB comprenant quatre fois le même chiffre et deux fois un autre, quels que soient ces chiffres (de 1 à 6, bien sûr). Cela pour toutes les configurations et pour les cas de deux à six dés.

Une occasion de réviser les méthodes de dénombrement.

 

 

Avec DEUX dés (62 = 36)

Configuration

Partitions

Chiffres

Comb.

Possibilités

Probabilité

2

A : 6

1

6

16,66… %

1 + 1

A : 6

B : 5

1

30

83,33… %

 

 

Explications

Les configurations sont notées avec des lettres. Elles représentent l'un des six chiffres du dé, quel que soit ce chiffre. AA veut dire aussi bien: (11, 22, 33, 44, 55 ou 66). AB veut dire que les deux chiffres sont différents.

Avec deux dés, il y a deux possibilités AA et AB:

*    deux fois le même chiffre (deux 6, par exemple), ou

*    deux chiffres différents (le 1 et le 5, par exemple)

 C'est aussi les deux additions pour faire 2. On a: 2 + 0 et 1 + 1. On appelle cela les partitions de 2.

Pour chacune de ces possibilités, quelles sont les chiffres possibles pour A et B ?

*    AA: il y a six possibilités: A = (1, 2, 3, 4, 5 ou 6);

*    AB: six possibilités pour A et seulement les cinq autres pour B.

La colonne combinaison n'est pas utile ici. Voir Plus loin.

Le calcul des possibilités est simple: 6 pour le cas AA et 6x5 = 30 pour le cas AB.

La dernière colonne est la simple division du nombre de possibilités par le nombre total de cas (6²).  C'est la probabilité d'obtenir la configuration indiquée sur la ligne.

Exemple: 16,66…% de probabilité d'avoir deux fois le même chiffre en lançant deux dés et 83,33… % pour deux dés différents. Évidemment la somme vaut 100 %.

 

 

Avec TROIS dés (63 = 216)

Configuration

Partitions

Chiffres

Comb.

Possibilités

Probabilité

3

A : 6

1

6

2,77… %

2 + 1

A : 6

B : 5

3

90

41,66… %

1 + 1 + 1

A : 6

B : 5

C : 4

1

120

55,55… %

 

 

Explications avec la présence de combinaisons

Ici, il y a trois configurations, trois partitions du nombre 3.

La possibilité pour chaque chiffre est indiquée. Dans le dernier cas, si on veut trois chiffres différents, l'un vaut l'une des six valeurs, l'autre les cinq autres et le dernier les quatre restantes.

La colonne combinaison est importante ici. Elle indique de combien de façons on peut faire varier la configuration AAB. Le tableau montre les trois variantes. Un choix de 2 parmi 3.

Dans ce cas, la quantité de possibilités pour AAB est 6 x 5 x 3 = 90.

 

 

Avec QUATRE dés (64 = 1 296)

Configuration

Partitions

Chiffres

Comb.

Possibilités

Probabilité

4

A : 6

1

6

0,46… %

3 + 1

A : 6

B : 5

4

120

9,25… %

2 + 2

A : 6

B : 5

3

90

6,94… %

2 + 1 + 1

A : 6    B : 5

C : 4

6

720

55,55… %

1 + 1 + 1 + 1

A : 6    B : 5

C : 4    D : 3

1

360

27,77… %

 

 

Explications avec calcul des combinaisons: cas simple et cas avec doublons.

Ici, il y a cinq configurations, cinq partitions du nombre 4.

Pour AAAB, choix de 3 parmi 4. On observe qu'il suffit de faire glisser B dans l'une des quatre cases pour visualiser les quatre cas: AAAB, AABA, ABAA et BAAA.

Le calcul des combinaisons est le suivant:

Prenons ensuite le cas AABC:

Plus compliqué, avec le cas AABB, car il faut tenir compte des configurations symétriques.

Le graphique montre les six configurations pour les points noirs (A). Observez que 1 et 1 sont symétriques et représentent finalement la même configuration. Vrai pour 2 et 3. Il faut diviser par 2.

 

 

 

Avec CINQ dés (65 = 7 776)

Configuration

Partitions

Chiffres

Comb.

Possibilités

Probabilité

5

A : 6

1

6

0,077... %

4 + 1

A : 6

B : 5

5

150

1,92... %

3 + 2

A : 6

B : 5

10

300

3,85... %

3 + 1 + 1

A : 6  B : 5

C : 4

10

1200

15,43... %

2 + 2 + 1

A : 6  B : 5

C : 4

15

1800

23,14... %

2 + 1 + 1 + 1

A : 6  B : 5

C : 4  D : 3

10

3600

46,2... %

1 + 1 + 1 + 1+ 1

A : 6  B : 5

C : 4  D : 3

E : 2

1

720

9,259... %

 

 

Explications encore des subtilités

Ici, il y a sept configurations, sept partitions du nombre 5.

Un exemple de calcul de combinaisons présentant une subtilité complémentaire avec AABBC

Prenons la configuration AA… (Graphique). Il y a trois positions pour BB (combinaison de 2 parmi 3). Bien!

Mais, comme précédemment, il est possible d'inverser les rouges et les noirs. Il y a une symétrie qui impose de diviser notre résultat par 2.  

 

 

Avec SIX dés (66 = 46 656)

Configuration

Partitions

Chiffres

Comb.

Possibilités

Probabilité

AAAAAA

6

A : 6

1

6

0,012... %

AAAAAB

5 + 1

A : 6  B : 5

6

180

0,385... %

AAAABB

4 + 2

A : 6  B : 5

15

450

0,964... %

AAAABC

4 + 1 + 1

A : 6  B : 5  C : 4

15

1 800

3,85... %

AAABBB

3 + 3

A : 6  B : 5

10

300

0,64... %

AAABBC

3 + 2 + 1

A : 6  B : 5  C : 4

60

7 200

15,43... %

AAABCD

3 + 1 + 1 + 1

A : 6  B : 5  C : 4  D : 3

20

7 200

15,43... %

AABBCC

2 + 2 + 2

A : 6  B : 5  C : 4

15

1 800

3,85... %

AABBCD

2 + 2 + 1 + 1

A : 6  B : 5  C : 4  D : 3

45

16 200

34,72... %

AABCDE

2 + 1 + 1 + 1 + 1

A : 6  B : 5  C : 4  D : 3  E : 2

15

10 800

23,14... %

ABCDEF

1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1

A : 6  B : 5  C : 4  D : 3  E : 2  F : 1

1

720

1,543... %

 

 

Explications

Ici, il y a onze configurations, onze partitions du nombre 6.

Un exemple de calcul de combinaisons avec AABBCD:

 

 

 

Avec SEPT dés (67 = 279 936)

La dernière configuration serait les permutations de 1234567, or le 7 n'est pas sur le dé !

 

 

Page réalisée sur une idée d'Yvan Boulianne

 

 

 

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