jeu de dés , probabilité de mêmes chiffres avec jusqu'à six dés

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Avec deux à six dés

Combien de configurations avec mêmes chiffres ?

On lance six dés. On veut savoir combien de fois on retrouvera la configuration AAAABB comprenant quatre fois le même chiffre et deux fois un autre, quels que soient ces chiffres (de 1 à 6, bien sûr).

Une occasion de réviser les méthodes de dénombrement.

Les quatre questions
Combien avec k dés ?	Général	Particulier
Combinaisons ORDONNÉES Les dès sont lancés successivement et l'ordre d'apparition est respecté. Les permutations des valeurs sont toutes prises en compte (136, 163 316, 361, 613 et 631)	Q1: combien de combinaisons ordonnées? Avec k = 3, il y en a 216.	Q4: combien de combinaisons ordonnées pour une configuration donnée? Avec k = 3, avec deux valeurs identiques, il y en a 90.
Combinaisons PRIMITIVES Les dès sont lancé simultanément et les valeurs sont classées de la plus petite à la plus grande. Une seule combinaison dite primitive représente toutes les permutations (136 pour 136, 163 …).	Q2: combien de combinaisons primitives? Avec k = 3, il y en a 56.	Q3: combien de combinaisons primitives pour une configuration donnée? Avec k = 3, avec deux valeurs identiques, il y en a 30.

Voir Tableau trois dés pour calcul de ces valeurs

Q1 - Combien de combinaisons ordonnées ?
Soit k dés alignés. Ils forment un nombre à k chiffres. On cherche à calculer la quantité de ces nombres à k chiffres. C'est l'équivalent d'un compteur. Chaque position peut prendre six positions.		Q_CO = 6^k Ex: k = 3, Q_CO = 6³ = 216.
Liste	6₁, 36₂, 216₃, 1296₄, 7776₅, 46656₆, 279936, 1679616, 10077696, 60466176, 362797056, 2176782336, 13060694016, 78364164096, 470184984576, 2821109907456, 16926659444736, 101559956668416, 609359740010496, 3656158440062976, …

Q2 - Combien de combinaisons primitives ?
Soit les six faces d'un dé. On en sélectionne k avec possible répétitions. C'est un cas de choix à répétition.		Ex: k = 3,
Liste	6₁, 21₂, 56₃, 126₄, 252₅, 462₆, 792, 1287, 2002, 3003, 4368, 6188, 8568, 11628, 15504, 20349, 26334, 33649, 42504, 53130, 65780, 80730, 98280, 118755, 142506, 169911, 201376, 237336, 278256, 324632, 376992, 435897, 501942, 575757, 658008, 749398, … OEIS A00389
Programme Maple

Voir Programmation – Index

DicoNombre: 21 / 56 / 126 / 252 / 462 / 792 / 1287 / 2002 / 3003

Q3 - Combinaisons primitives particulières
Six dés dont quatre avec la même valeur (exemple)		On note cette configuration: AAAABC pour laquelle AAAA, B et C prennent les valeurs de 1 à 6, mais différentes. La quantité d'issues est le produit: Vocabulaire: AAAABC est une configuration. 111145 est une issue.
Redondances (3 exemples)	Avec la configuration AABB (illustration) les blocs AA et BB jouent le même rôle et, avec le calcul du produit, les issues ont été comptées deux fois. Le produit doit être divisé par 2. Avec AAAABC, les lettres B et C jouent le même rôle. Le produit doit être divisé par 2. Dans le cas AAABCD, les trois lettres B, C et D jouent le même rôle. Il y a 3! permutations. Le produit est à diviser par 3!		Les trois dernières lignes sont redondantes.
Issues primitives

Q4 - Combinaisons ordonnées particulières
Anagrammes éligibles	On cherche toutes les anagrammes de la configuration AAAABC (comprenant quatre fois le même nombre) en tenant compte des redondances (ici égale à 2).
Issues ordonnées

Q5 – Identification des configurations particulières

Configurations

Chacune des configurations indique combien de chiffres sont identiques.

Exemple

ABC veut dire que les trois chiffres sont différents;

AAB que deux chiffres sont identiques;

AAA que les trois chiffres sont les mêmes.

Identification

Avec k dés, il y a autant de configurations que de partitions du nombre k.

Exemple avec k = 3

3 =	1 + 1 + 1	ABC	Ex: 555
	2 + 1	AAB	Ex: 556
	3	ABC	Ex: 456

Tableaux pour k de 2 à 6

DEUX DÉS

Config.	Produit	Red.	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AA 2	6	1	6	1	6	16,66… %
AB 1 + 1	6×5 = 30	2			30 × 1 30	83,33… %
*Total*			21	2⁶ =	36

Liste des 36 issues possibles avec deux dés

TROIS DÉS

Config.	Produit	Red.	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AAA 3	6	1	6	1	6	2,77… %
AAB 2 + 1	6×5 = 30	1			30 × 3 90	41,66… %
ABC 1 + 1 + 1	6×5×4 = 120	3!			120 × 1 120	55,55… %
*Total*			56	3⁶ =	216

Liste des 216 issues possibles avec trois dés

QUATRE DÉS

Config.	Produit	Red.	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AAAA 4	6	1	6	1	6	0,46… %
AAAB 3 + 1	6×5 = 30	1			30 × 4 120	9,25… %
AABB 2 + 2	6×5 = 30	2			30 × 3 90	6,94… %
AABC 2 + 1 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 6 = 720	55,55… %
ABCD 1+1+1+1	6×5×4×3 = 360	4!			360× 1 360	27,77… %
*Total*			126	4⁶ =	1 296

CINQ DÉS

Config.	Produit	Red.	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AAAAA 5	6	1	6	1	6	0,077... %
AAAAB 4 + 1	6×5 = 30	1			30 × 5 150	1,92... %
AAABB 3 + 2	6×5 = 30	1			30 × 10 300	3,85... %
AAABC 3 + 1 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 10 = 1 200	15,43... %
AABBC 2 + 2 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 15 1 800	23,14... %
AABCD 2+1+1+1	6×5×4×3 = 360	3!			360 × 10 3 600	46,2... %
ABCDE 1+1+…+ 1	6×5×…×2 = 720	5!			720 × 1 720	9,26... %
*Total*			252	5⁶ =	7 776

SIX DÉS

Config.	Produit	Red..	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AAAAAA 6	6	1	6	1	6	0,012... %
AAAAAB 5 + 1	6×5 = 30	1			30 × 6 180	0,385... %
AAAABB 4 + 2	6×5 = 30	1			30 × 15 450	0,964... %
AAAABC 4 + 1 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 15 = 1 800	3,85... %
AAABBB 3 + 3	6×5 = 30	2			30 × 10 300	0,64... %
AAABBC 3 + 2 + 1	6×5×4 = 120	1			120 × 60 7 200	15,43... %
AAABCD 3 + 1 + 1 + 1	6×5×4×3 = 360	3!			360 × 20 7 200	15,43... %
AABBCC 2 + 2 + 2	6×5×4 = 120	3!			120 × 15 1 800	3,85... %
AABBCD 2 + 2 + 1 + 1	6×5×4×3 = 360	2²			360 × 45 16 200	34,72... %
AABCDE 2+1+1+1+1	6×5×…×2 = 720	4!			720 × 15 10 800	23,14... %
ABCDEF 1+1+…+1	6×5×…×1 = 720	6!	1		720 × 1 720	1,543... %
*Total*			462	6⁶ =	46 656

SEPT DÉS

Config.	Produit	Red..	Issues sans ordre	Anagrammes éligibles	Issues avec ordre	Proba.
AAAAAAA 7	6	1	6	1	6
AAAAAAB 6 + 1	6×5 = 30	1			30 × 7 210
AAAAABB 5 + 2	6×5 = 30	1			30 × 21 630
AAAAABC 5 + 1 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 21 = 2 520
AAAABBB 4 + 3	6×5 = 30	1			30 × 35 1 050
AAAABBC 4 + 2 + 1	6×5×4 = 120	1			120 × 105 12 600
AAAABCD 4 + 1 + 1 + 1	6×5×4×3 = 360	3!			360 × 35 12 600
AAABBBC 3 + 3 + 1	6×5×4 = 120	2			120 × 70 8 400
AAABBCC 3 + 2 + 2	6×5×4 = 120	2			120 × 105 12 600
AAABBCD 3 + 2 + 1 + 1	6×5×4×3 = 360	2			360 × 210 75 600
AAABCDE 3+1+1+1+1+1	6×5×…×1 = 720	4!			720 × 35 25 200
AABBCCD 2+2+2+1	6×5×4×3 = 360	3!			360 × 105 37 800
AABBCDE 2+2+1+1+1	6×5×…×2 = 720	2×3!			720 × 105 75 600
AABCDEF 2+1+…+1	6×5×…×1 = 720	5!			720 × 21 15 120
ABCDEFG 1+1+…+1	/		0		0
*Total*			792	7⁶ =	279 936

Page réalisée sur une idée d'Yvan Boulianne

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