NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres n =  k fois le produit de ses chiffres
>>> Produit des chiffres en cascade

>>> Même produit des chiffres

 

 

 

 

 

PRODUIT des chiffres des nombres

 

 

Analyse du produit des chiffres d'un nombre. Un cas classique consiste à trouver les nombres égaux au produit de ses chiffres ou à un multiple comme cet exemple avec 175.

Quels sont les nombres ayant ^même produit e leur chiffres ?

Una autre application consiste à reformuler le produit des chiffres jusqu'à atteindre un seul chiffre. C'est la racine multiplicative du nombre.

  

Voir Brève 231 / Racine additive

 

 

Devinette

Complétez: 77, 49, 36, 18, ?

Réponse

 

Nombres n =  k fois le produit de ses chiffres

Tous les cas jusqu'à n = 1000, hors cas triviaux comme 5 = 5 x 1.

Ils sont 25.

 

Exemple

816 => (8 x 1 x 6) x 17

n,   P,    k

11, 1, 11

12, 2, 6

15, 5, 3

24, 8, 3

36, 18, 2

111, 1, 111

112, 2, 56

115, 5, 23

128, 16, 8

132, 6, 22

135, 15, 9

144, 16, 9

175, 35, 5

212, 4, 53

216, 12, 18

224, 16, 14

312, 6, 52

315, 15, 21

384, 96, 4

432, 24, 18

612, 12, 51

624, 48, 13

672, 84, 8

735, 105, 7

816, 48, 17

Même chose pour les nombres de 1 000 à 10 000.

Ils sont 39.

1112, 2, 556

1113, 3, 371

1115, 5, 223

1116, 6, 186

1131, 3, 377

1176, 42, 28

1184, 32, 37

1197, 63, 19

1212, 4, 303

1296, 108, 12

1311, 3, 437

1332, 18, 74

1344, 48, 28

1416, 24, 59

1575, 175, 9

1715, 35, 49

2112, 4, 528

2144, 32, 67

2232, 24, 93

2916, 108, 27

3111, 3, 1037

3132, 18, 174

3168, 144, 22

3171, 21, 151

3276, 252, 13

3312, 18, 184

3915, 135, 29

4112, 8, 514

4224, 64, 66

4416, 96, 46

6144, 96, 64

6624, 288, 23

6912, 108, 64

7112, 14, 508

7119, 63, 113

8112, 16, 507

8832, 384, 23

9315, 135, 69

9612, 108, 89

 

 

Produit des chiffres en cascade

 

Prenons un nombre à deux chiffes et multiplions ces deux chiffres. Si le produit est à deux chiffres, on poursuit l'opération.

*    Quels sont les produits finaux possibles?

*    Quelle est la chaine la plus longue?

 

 

24  2 x 4 = 8

25  2 x 5 = 10  1 x 0 = 0

26  2 x 6 = 12  1 x 2 = 2

 

 

Table des produits de 11 jusqu'à 102, ordonnés par résultats croissants

 

Chaine la plus longue pour un nombre à deux chiffres

 

Records

 

 

Exploration jusqu'à 10 millions.

Un autre exemple à 10: 126 888 999, normal le 1 initial ne change pas le produit. D'ailleurs, la propriété reste inchangée même avec un autre nombre que 1 placé en tête.

 

Voir Persistance multiplicative /Table des nombres égaux à k fois le produit de leurs chiffres

 

 

 

Même produit des chiffres

Combien y a-t-il de nombres dont le produit des chiffres, le 1 étant exclu, vaut 1 225 ?

 

 

Solution
Factorisation de 1225 = 5 x 245 = 5 x 5 x 49 = 5 x 5 x 7 x 7.

Si le produit vaut 1 255, ses facteurs à un seul chiffre valent 5, 5, 7, 7.

Ce sont les six nombres avec permutation de ces chiffres:

5 577, 5 757, 5 775, 7 755, 7 575, 7 557.

En introduisant le chiffre1, il existe une infinité de solutions comme:

15577, 115577 …

 

Autre exemple

Prenons le nombre 30 = 2 x 3 x 5. Ils sont huit nombres avec un produit de 30, le chiffre 1 exclu: 56, 65, 235, 253, 325, 352, 523 et 532.

 

 

Liste jusqu'à 50

Produit, (facteurs), quantité, [Nombres]

Exemple: 6, ses facteurs 2 et 3, trois nombres dont le produit est 6: 6, 23 et 32

Les nombres non mentionnées ne se sont jamais atteints par un produit de chiffres (dont, évidemment, les nombres premiers).

 

Records de quantité

Produit, quantité, [Nombres]

 

Au-delà on donne le produit atteint, ses facteurs et la quantité de nombres qui l'atteignent

 

Produit

Facteurs

Qté

2

2

1

4

22

2

6

2 × 3

3

8

23

4

12

22 × 3

7

24

23 × 3

16

36

22 × 32

21

48

24 × 3

32

72

23 × 32

47

96

25 × 3

51

144

24 × 32

78

240

24 × 3 × 5

84

288

25 × 32

150

360

23 × 32 × 5

159

432

24 × 33

227

576

26 × 32

275

720

24 × 32 × 5

348

864

25 × 33

397

1 440

25 × 32 × 5

456

1 728

26 × 33

480

2 520

23 × 32 × 5 × 7

492

2 592

25 × 34

639

2 880

26 × 32 × 5

785

 

 

 

 

 

 

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