NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Chiffres

 

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Somme x Produit

Somme  = Produit

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Multant = 0

>>> Multant = 1

>>> Multant =  3 ou 7

>>> Multant =  9

>>> Multant =  2, 4, 5, 6 ou 8

>>> Bilan

>>> Nombres à grande persistance multiplicative

>>> Persistance multiplicative avec puissances

>>> Persistance multiplicative mode Erdos

>>> Programmation Maple

>>> Programmation Python

 

 

 

 

 

Produit des chiffres d'un nombre

Multant & Persistance multiplicative

  

La somme des chiffres (racine (additive) numérique) est utilisée pour effectuer la preuve par neuf. Est-ce que le produit des chiffres a une telle utilité? Non!

Mais, son exploration est un bon amusement pour les élèves de primaire et un terrain propice à des exercices de programmation en secondaire. Un sujet également de passion pour les mathématiciens-informaticiens qui veulent établir des records.

Certains (comme le Kangourou des mathématiques), nomme ce produit Multant. Son vrai nom est: racine multiplicative du nombre.

 

Anglais: Digit-Product / Multiplicative Persistence / Multiplicative Digital Root

 

En bref

Les chiffres d'un nombre sont itérativement multipliés entre eux, et cela jusqu'à obtenir un seul chiffre. Les variantes consistent à ignorer le chiffre zéro ou encore à considérer le produit des puissances des chiffres.

Dans le cas classique, on conjecture que la quantité d'itérations ne dépasse pas 11 et le plus petit tel nombre est 277 777 788 888 899.

Les nombres peuvent être regroupés en famille: toutes les permutations du nombre (24 et 42 ont même produit) et tous les nombres dont les chiffres forment un produit inférieur à 10 (6 et 23 ont même produit; 6 est la forme compactée de 23).

Il est possible d'optimiser les recherches de records en sachant que tous les produits avant compactage sont de la forme: 2a3b5c7d.

 

 

Approche

Avec la preuve par neuf, on additionne les chiffres du nombre et on recommence pour aboutir à un seul chiffre. Ici, on opère de la même manière mais avec la multiplication.

 

Le multant de 77 est le nombre final à un chiffre (8) et sa persistance multiplicative est de 4 cycles.

 

Tous les nombres ayant les mêmes chiffes ont le même multant:

123    1 x 2 x 3  = 6

231    2 x 3 x 1  = 6

Les chiffres peuvent se multiplier et donner le même multant:

123    1 x 2 x 3  = 6

16      1 x     6    = 6

 

Exemple

 

Brève 373 / Nombre 77

Persistance multiplicative des nombres de 11 à 99

The persistence of a number is the number of times you need to multiply the digits together before reaching a single digit.

 

Multant nul

*    Quels sont les nombres dont le produit répété des chiffres (multant) est égal à 0?  Tous les nombres comprenant un 0, bien sûr.

  10    1 x 0 = 0

100    1 x 0 x 0 = 0

 

*    Et, tous ceux comprenant un produit
2 x 5,   4 x 5,   6 x 5 et   8 x 5.

25    2 x 5 = 10   1 x 0 = 0

45    4 x 5 = 20   2 x 0 = 0

On note: 45, 20, 0 en faisant la multiplication mentalement

 

*    La présence de ces couples nuls peut survenir en cours d'itération

69, 54, 20, 0

87, 56, 30, 0

9977, 3969, 1458, 0 (Inutile de poursuivre les calculs)
9999, 6561, 0

9876, 3024, 0

 

*    Quantité de nombres à multant nul:

de 0 à 10                     2 (0 et 10)

de 0 à 100                 26 (0, 10, 20, 25, 30…)

de 0 à 1000             478                                     

de 0 à 10 000      6 741                             

Table pour début et fin des nombres de 0 à 10 000

Pm: persistance multiplicative (quantité de cycles)

 

 

Multant égal à 1

 

Ces nombres sont rares. Il faut en effet maintenir le produit à 1. Avec 1 x 1 c'est possible, mais avec 9 x 9 = 81 nous voilà relancé à plus grand que 1.

De sorte que jusqu'à 10 000, il n'y a que 4 tels cas. Et, ce sont les repunits:

 

1, 11, 111, 1111 …

 

Multant égal à 3 ou 7

 

Les produits ne sont que très rarement terminés par 3 ou 7.

Nous ne serons pas étonnés de retrouver peu de multants dans cette catégorie.

Dix de chaque jusqu'à 10 000.

Observez que pour n chiffres, il s'agit toujours du même avec permutation des chiffres.

 

 

Multant égal à 9

 

Jusqu'à 10 000, ils ne sont que 20.

Ce sont les cas où l'on trouve des 9 ou alors des 3,3,  accompagnés de 1.
Ex: 3311 => 3 x 3 x 1 x 1 = 9

 

 

 

Multant égal à 2, 4, 5, 6 ou 8

Ils sont très nombreux avec ces chiffres.

 

Voici le début et la fin du tableau pour chacun de ces chiffres, jusqu'à 10 000.

 

 

Bilan: quantité de multant selon le chiffre obtenu (jusqu'à 10 000)

 

Niveau avancé

 

Record août 2020

 

Suite en Puzzle 341. Multiplicative persistence, Erdos style – The prime puzzles & problems connection – Carlos Rivera – Liste des calculs et code Python pour ce record.

Merci aux auteurs de m'avoir signalé ce résultat

 

 

Nombres à grande persistance multiplicative

 

Quels sont les plus petits nombres pour une persistance croissante 1, 2, 3 …?

 

Exemple

679 => 378 => 168 => 48 => 32 => 6

Persistance multiplicative (pm) = 5

Multant (M): 6

 

Cas des nombres premiers

Dans l'ordre les plus petits premiers sont: 11, 29, 47, 277, 769, 8 867, 186 889, 2 678 789, 26 899 889, 3 778 888 999, 277 777 788 888 989.

 

 Plus petit nombre pour les persistances croissantes

 

n

Facteurs

M

pm

10

2 x 5

0

1

25

0

2

39

3 x 13

4

3

77

7 x 11

8

4

679

7 x 97

6

5

6 788

2² x 1 697

0

6

68 889

3 x 22 963

0

7

2 677 889

29 x 107 x 863

0

8

26 888 999

523 x 51 413

0

9

3 778 888 999

3 778 888 999

0

10

277 777 788

888 899

13 x 59 x 1 699

 x 213161503

0

11

 

 

 

Conjecture

 

Infirmée

Voir record ci-dessus

 

La plus grande persistance multiplicative connue est 11.

On conjecture qu'il n'y en a pas de plus grande.

 

Le plus petit nombre avec 11 est:   277 777 788 888 899
dont les facteurs sont: 13 x 59 x 16 99 x 213 161 503
4996238671872 => 438939648 => 4478976 => 338688 => 27648 => 2688 => 768 => 336 => 54 => 20 => 0

Pour la persistance ce nombre est équivalent à:

277 777 788 888 899 => 22222222222222222223333777777

ou compactés: 21768692 => 2193476

 

Yves Roques en propose un plus grand: 27 777 789 999 999 999
dont les facteurs sont: 33 x 19 x 1847 x 29316588409 et les produits successifs:

27 777 789 999 999 999

937 638 166 841 712

438 939 648

4 478 976

338 688

27 648

2 688

768

336

54

20

0

 

Sans le 1

 

On conjecture que, pour une persistance multiplicative supérieure à 2, il existe un nombre maximum sans le chiffre 1.

Le plus grand nombre avec pm =  11 ne comportant aucun 1 serait (conjecture): 7634219 = 77 777 733 332 222 222 222 222 222 222 = 7,77 … 1028
Dont les facteurs sont 2 x 13 x 2099 x 1980320545463413943
Et les étapes sont: 4996238671872 => 438939648 => 4478976 => 338688 => 27648 => 2688 => 768 =>336 => 54 => 20 => 0

 

Base

En base 2, la persistance multiplicative maximale est 2.

En base 3, ce serait 3 (conjecture).

On aurait ainsi selon la base croissante: 2, 3, 3, 6, 5, 8, 6, 7 et 11 pour la base 10

 

 

 

Exploration

 

On sait qu'il n'existe pas de persistance multiplicative supérieure à 11 jusqu'à 1020 000 (Benjamin Chaffin).

La recherche de nombres plus grands ou de nombres avec pm supérieures à 11 nécessite de travailler sur de très grands nombres. Une exploration systématique est hors de portée de nos ordinateurs de bureau.

 

Quelles sont les pistes pour réduire les recherches ? La vidéo d'Yves Roques développe une piste de recherche.

 

Parmi les pistes évidentes:

*    Éliminer les nombres contenant un 0: 20123456 => 0

*    Éliminer les nombres contenant un 1: 1123 =>6 et 23 => 6

*    Éliminer les permutations: 24 => 8 et 42 => 8
Il suffit donc, de ne conserver les nombres dont les chiffres sont en ordre croissant: 234 sera le seul retenu pour 243, 324, 342, 423 et 432

*      Éliminer les nombres contenant au moins un 2 et un 5: 257 => 70 => 0

Une piste moins évidente mais très payante:

*    Considérer la factorisation des chiffres: 497 devient 22337 qui alors est identique à d'autres nombres avec multiplications entre chiffres, comme 23237 => 667. En effet: 497 => 252 => 0     et     667 => 252 => 0.
Il suffit donc de ne considérer que les nombres dont les chiffres sont des nombres premiers ou leur compactage (comme 22 devient 4).

Bilan pour le plus petit nombre de PM donnée:

*      Tous les chiffres sont en ordre croissant;

*      Finissant par 7, 8 ou 9;

*      Précédé de 2, 3, 4, 6, 26, 35, 55, …

*      Les produits (multants) avant compactage étant de la forme: 2a3b5c7d avec

 

 

 

Persistance multiplicative avec puissances

Avec le carré

123

1² x 2² x 3² = 36

3² x 6² = 324

3² x 2² x 4² = 576

5² x 7² x 6² = 44 100

0

123

2-multant = 0

2-pm = 5

Avec le cube

123

13 x 23 x 33 = 216

23 x 13 x 63 = 1 728

13 x 73 x 23 x 83 = 1 404 928

0

123

3-multant = 0

3-pm = 4

Avec le bicarré

123

14 x 24 x 34 = 1 296

14 x 24 x 94 x 64 = 136 048 896

0

123

4-multant = 0

4-pm = 3

 

 

Persistance multiplicative Mode Erdos

Erdos propose d'ignorer les 0 s'ils existent et de poursuivre les itérations.
Ex: 1067 => 42 => 8

 

Dans ces conditions, la persistance multiplicative dépasse 11.
Ex: 516713 à une persistance de 12.

Voir le développement ci-contre

          74282914 à une persistance de 13.

 

55555555555555557777777777777

14784089722747802734375

49962386718720

438939648

4478976

338688

27648

2688

768

336

54

20

2

Bilan, 2, 12

 

Programmation

Les programmes Maple et Python proposés calculent la persistance multiplicative d'un nombre.

*      Avec Maple, on travaille avec les chiffres et on met en place de simples des boucles d'exploration.

*      Avec Python, on considère les nombres comme chaines de caractères et on utilise une méthode récursive.

Voir les sites proposés pour ceux qui voudraient optimiser les programmes et se lancer à la poursuite des records. (1020 000 en 2019).  

 

 

Programmation Maple

Commentaires

La première procédure (pme) calcule le produit des chiffres d'un nombre.

Le nombre n est convertit en base 10 pour disposer de la liste des chiffres.

Avec mul, on multiplie les chiffres successifs de N jusqu'à nop(n) qui donne la quantité de chiffres.

On en profite pour imprimer le produit.

La procédure suivante procède à l'itération du calcul du produit jusqu'à obtenir un seul chiffre (tant que R est supérieur à 9). La variable kt compte la quantité d'itérations.

Le programme principal fait appel à ces procédures avec le nombre n indiqué.

Résultat en bleu avec le nombre, suivi des calculs intermédiaires et en fin le bilan avec le multant (0) et la persistance multiplicative (11).

Voir ProgrammationIndex

 

 

Programmation Python

Commentaires

La fonction pm calcule la persistance multiplicative de n en utilisant une méthode récursive (appel du programme à lui-même)

Le programme va traiter les caractères (string) des nombres et les transformer en chiffres (int)

Pour commencer, on crée un critère d'arrêt avec une longueur de chaine = 1.

La variable chiffres contient la liste des caractères transformés en chiffres.

La variable M contient les multants successifs. Ils sont imprimés.

La procédure est relancée en prenant le multant comme nouveau nombre à traiter.

En donnant à n la valeur indiquée, on appelle la fonction; le résultat est la liste en bleu.

Voir Programmation Python

 

 

 

 

Suite

*    Racine multiplicative et Persistance multiplicative

*    Somme fois le produit des chiffres d'un nombre

*    Somme et produit d'un nombre – Identiques

*    Autres procédés itératifs

Voir

*    Addition

*    Allumettes et nombres

*    Bases de numération

*    Chiffres à barre – Comparaison

*    Chiffres en lettres

*    Nombres à barres en lettres

*    Nombres en toutes lettres

*    Numération - historique

*    Pannumérique

*    Unité des puissances

Sites

*      Persistance Multiplicative – Yves Roques – 29 / 08 /2019

*      Persistance Multiplicative – Yves Roques – Vidéo

*      Multiplicative persistance – Wolfram MathWorld

*      OEIS A031346 – Multiplicative persistence: number of iterations of "multiply digits" needed to reach a number < 10

*    OEIS A003001 – Smallest number of multiplicative persistence n

*    OEIS A046500 – Smallest prime with multiplicative persistence n – Patrick De Geest

*    Multiplicative persistence base10: some new null results – Mark Diamond

*    What's special about 277777788888899? – Numberphile – Vidéo

*    The persistence of a number – Walter Schneider 2000

*    Persistence: A Digit Problem – Stephanie PerezRobert Styer – Théorie

*    Puzzle 341. Multiplicative persistence, Erdos style. – Carlos Rivera.

*    An algorithm for multiplicative persistence research – Kevin McElwee – Pour ceux qui voudraient se lancer dans la recherché des records*

*    Multiplicative persistence all solutions – Kevin McElwee – Liste de toutes les solutions

*    Multiplicative persistence with Julia – Ole Kröger – Code en Julia pour recherche sur grands nombres et indications de statistiques

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