jSomme des chiffres des nombres

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/10/2021 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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			Sommaire de cette page >>> Approche n = 5 x somme des chiffres >>> Nombre 108 = 12 x somme des chiffres >>> Nombres à 2 chiffres n = k.s >>> Nombres à 3 chiffres n = k.s >>> Nombres produit = k.s >>> Puissance des chiffres >>> Nombres = Somme x Produit des chiffres

SOMME des CHIFFRES

multiple du nombre

Trouver des nombres tels que la somme de leurs chiffres divise le nombre lui-même => Nombres de Harshad

N = k fois Somme des chiffres

Approche avec n = 5 fois la somme des chiffres
On cherche tous les nombres égaux à cinq fois la somme de leurs chiffres. Sont-ils nombreux ? Tous ces nombres divisibles par la somme de leurs chiffres sont appelés: nombres de Harshad.
Écriture d'un nombre et de sa valeur
Condition pour que 5 fois la somme des chiffres soit égale au nombre		N = 100c + 10d + u = 5c + 5d + 5u
Avec un seul chiffre	N = u = 5u		Seule possibilité: N = 0 (trivial)
Avec deux chiffres	N = 10d + u = 5d + 5u 5d = 4u d = 4/5 u		Seule possibilité: u = 5 et d= 4. N = 45 = 5 x (4+5)
Avec trois chiffres	N = 100c + 10d + u = 5c + 5d + 5u 95c + 5d = 4u 19c + d = 4/5 u		u vaut 0, alors c et d = 0 (trivial). u = 5, alors 19c + d = 4 Ce qui est impossible à réaliser (19c étant bien trop grand).
Bilan	N = 45 est le seul cas où un nombre vaut 5 fois la somme de ses chiffres. On trouvera également que N = 54 est le seul cas avec 6.
Autres exemples	N = [12, 24, 36, 48] sont les seuls cas où un nombre vaut 4 fois la somme de ses chiffres. N = [21, 42, 63, 84] pour 7 fois. Notez que ces quatre nombres sont les retournés des quatre identifiés pour 4 fois.

Nombre 108 = 12 fois somme des chifffres
Montrer que: Le nombre 108 est le seul égal à 12 fois la somme de ses chiffres.	108 = 12 x (1 + 0 + 8) 108 est un nombre de Harshad.
Supposons un nombre à deux chiffres	N = 10a + b = 12 (a + b) 2a + 11b = 0 a et b étant positifs, impossible de faire 0.
Nombres à trois chiffres	N = 100a + 10b + c = 12 (a + b + c) 88a = 2b + 11c Même avec b et c = 10, 88a ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 1 8 x 11 a = 11 c + 2b Écrit de cette manière, on déduit: c = 8 et b = 0 Soit N = 108
Nombres à quatre chiffres	N = 1000a + 100b + 10c+ d = 12 (a + b + c + d) 988a + 88b = 2c + 11d Même avec b et c = 10, la partie à droite ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 0. Impossible avec quatre chiffres.

Nombres à DEUX chiffres = k · S
Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.	N tel que 10 d . u = k (d + u)
N n'est jamais somme des chiffres. Il est une fois le double pour 18. Etc. Solutions triviales pour les multiples de 10	/ = 1 ( / ) 18 = 2 ( 1 + 8 ) 27 = 3 ( 2 + 7 ) 12 = 4 ( 1 + 2 ) 24 = 4 ( 2 + 4 ) 36 = 4 ( 3 + 6 ) 48 = 4 ( 4 + 8 ) 45 = 5 ( 4 + 5 ) 54 = 6 ( 5 + 4 ) 21 = 7 ( 2 + 1 ) 42 = 7 ( 4 + 2 ) 63 = 7 ( 6 + 3 ) 84 = 7 ( 8 + 4 ) 72 = 8 ( 7 + 2 ) 81 = 9 ( 8 + 1 ) 10, 20… = 10 ( 1 + 0 )

Nombres à TROIS chiffres / Somme:
Quels sont les nombres à trois chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.	N tel que 100.c + 10. d . u = k (c + d + u)
Pour k de 1 à 10	Aucun
Pour k = 11	198	= 11 (1 + 9 + 8)
Pour k = 12 (voir démonstration)	108	= 12 (1 + 0 + 8)

Nombres Produit = k x Somme
Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le produit des chiffres vaut k fois la somme des chiffres.	N tel que d . u = k (d + u)
Le produit vaut la somme N => d . u = d + u	22	2 x 2 = 2 + 2
Le double de la somme N => d . u = 2 (d + u)	36 44	3 x 6 = 2 (3 + 6) 4 x 4 = 2 (4 + 4)
Trois fois N => d . u = 3 (d + u)	63 66	6 x 3 = 2 (6 + 3) 6 x 6 = 3 (6 + 6)
Quatre fois N => d . u = 4 (d + u)	88	8 x 8 = 4 (8 + 8)
Cinq fois N => d . u = 5 (d + u)	Aucun
Une demi fois N => d . u = ½ (d + u)	11	1 x 1 = (1 + 1) / 2
Au carré N => d . u = (d + u)²	Aucun

Voir Développements sur ce sujet: nombres somme-produit /

Puissance de la somme des chiffres:
Nombre égal à une puissance de la somme de ses chiffres.	N = (c + d + u) ^k
Ces nombres avec k = 3 (cubes) sont appelés nombres de Dudeney (1857-1930). Cette appellation peut être généralisée à d'autres puissances: Nombres digipuissants. Après la puissance 4 et 7 chiffres, le suivant est 90²⁰ avec 41 chiffres.
Avec 1 chiffre	1	= (1) ^k
Avec 2 chiffres	/
Avec 3 chiffres	512	= (5 + 1 + 2) ³
Avec 4 chiffres	4 913 5 832 2 401	= (4 + 9 + 1 + 3) ³ = (5 + 8 + 3 + 2) ³= (2 + 4 + 0 + 1) ⁴
Avec 5 chiffres	17 576 19 683	= (1 + 7 + 5 + 7 + 6) ³ = (1 + 9 + 6 + 8 + 3) ³
Avec 6 chiffres	234 256 390 625 614 656	= (2+3+4+2+5+6)⁴ = (3+9+0+6+2+5) ⁴ = (6+1+4+6+5+6) ⁴
Avec 7 chiffres	1 679 616	= (1+6+7+9+6+1+6)⁴

Voir site Generalized Dudeney numbers pour plus grands et preuves

Nombres = Somme x Produit des chiffres
Nombre égal au produit de la somme des chiffres par le produit des chiffres.	N = S . P = (c + d + u) x (c . d. u)
Deux chiffres	Aucun
Trois chiffres Seules solutions =>	135 144	= (1+3+5) (1x3x5) = (1+4+4) (1x4x4)
Quatre chiffres	Aucun
Suite en Nombres SP

Suite	Produit des chiffres Somme et produit des chiffres Nombre = S x P Nombres de Harshad Nombre de Harshad, somme et produit
Voir	Somme et produit des chiffres – Index Jeux avec les chiffres Puzzles - Index
DicoNombre	Nombre 45 Nombre 77 Nombre 679 Nombre 6 788
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