NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES ET JEUX

 

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Somme et produit

Bento

Kakuro

Somme 100 en 6 chiffres

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec la somme

>>> Approche avec le produit

>>>  Nombres à 2 chiffres    p  = k.s

>>>  Nombres à 2 chiffres    n = k.s

>>>  Nombres à 3 chiffres    n = k.s

>>>  Puissance des chiffres

>>>  Produit de la somme et du produit

>>>  Nombre 108, le seul à trois chiffres

 

 

 

 

 

JEUX de CHIFFRES

Somme et produits des chiffres des nombres

 

Trouver des nombres tels que la somme de leurs chiffres:

*    divise le produit de leurs chiffres;

*    divise le nombre lui-même => Nombres de Harshad;

*    soit une racine du nombre.

 

 

 

Approche avec 5 fois la somme des chiffres

Écriture d'un nombre et de sa valeur

Condition pour que 5 fois la somme des chiffres soit égale au nombre

N = 100c + 10d + u = 5c + 5d + 5u

Avec un seul chiffre

N = u = 5u

Seule possibilité: N = 0 (trivial)

Avec deux chiffres

N =  10d + u = 5d + 5u

           5d        =           4u

              d        =     4/5 u

Seule possibilité: u = 5 et d= 4.

N = 45 = 5 x (4+5)

Avec trois chiffres

N = 100c + 10d + u

    = 5c + 5d + 5u

 

95c + 5d =     4u

19c +   d = 4/5 u

u vaut 0, alors c et d = 0 (trivial).

 

u = 5, alors 19c + d = 4

Ce qui est impossible à réaliser (19c étant bien trop grand).

 

Bilan

N = 45  est le seul cas où un nombre

vaut 5 fois la somme de ses chiffres.

On trouvera également que N = 54 

est le seul cas avec 6.

 

Devinette

Complétez:  77, 49, 36, 18, ?

Réponse

 

 

Approche avec produit des chiffres

 

Prenons un nombre à deux chiffes et multiplions ces deux chiffres. Si le produit est à deux chiffres, on poursuit l'opération.

*    Quels sont les produits finaux possibles?

*    Quelle est la chaine la plus longue?

 

 

24  2 x 4 = 8

25  2 x 5 = 10  1 x 0 = 0

26  2 x 6 = 12  1 x 2 = 2

 

 

Table des produits de 11 jusqu'à 102, ordonnés par résultats croissants

 

Chaine la plus longue pour un nombre à deux chiffres

 

Records

 

Exploration jusqu'à 10 millions.

Un autre exemple à 10: 126 888 999, normal le 1 initial ne change pas le produit. D'ailleurs, le propriété reste inchangée avec autre que 1 que l'on veut en –tête.

 

 

 

 

 

 

Nombres à DEUX chiffres / Produit:

 

Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le produit des chiffres vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que  d . u = k (d + u)

*    Le produit vaut la somme

N => d . u  = d + u

22

2 x 2 = 2 + 2

*    Le double de la somme

N => d . u  = 2 (d + u)

36

44

3 x 6 = 2 (3 + 6)

4 x 4 = 2 (4 + 4)

*    Trois fois

N => d . u  = 3 (d + u)

66

6 x 6 =  3 (6 + 6)

*    Quatre fois

N => d . u  = 4 (d + u)

88

8 x 8 =  4 (8 + 8)

*    Cinq fois

N => d . u  = 5 (d + u)

Aucun

 

*    Une demi fois

N => d . u  = ½ (d + u)

11

1 x 1 =  (1 + 1) / 2

*    Au carré

N => d . u = (d + u

Aucun

 

 

 

 

Nombres à DEUX chiffres / Somme:

 

Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que 10 d . u = k (d + u)

*    Une fois la somme des chiffres

Aucun

 

*    Au double de la somme

N = 10 d + u = 2 (d + u)

18

= 2 (1 + 8)

*    Au triple

27

= 3 ( 2 + 7)

*    Au quadruple

12

24

36

48

= 4 (1 + 2)

= 4 (2 + 4)

= 4 (3 + 6)

= 4 (4 + 8)

*    5 fois

45

= 5 (4 + 5)

*    6 fois

54

= 6 (5 + 4)

*    7 fois

21

42

63

84

= 7 (2 + 1)

= 7 (4 + 2)

= 7 (6 + 3)

= 7 (8 + 4)

*    8 fois

72

= 8 (7 + 2)

*    9 fois

81

= 9 (8 + 1)

*    10 fois

10

20

30

= 10 (1 + 0)

= 10 (2 + 0)

*    11 fois et au-delà

Aucun

 

*    À la moitié

Aucun

 

Voir Nombres égaux à la somme des puissances de leurs chiffres

 

 

 

Nombres à TROIS chiffres  / Somme:

 

Quels sont les nombres à trois chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que 100.c + 10. d . u

= k (c + d + u)

*    Pour k de 1 à 10

Aucun 

 

*    Pour k = 11

198

= 11 (1 + 9 + 8)

*    Pour k = 12 (voir démonstration)

108

= 12 (1 + 0 + 8)

*    Etc. Voir Tableau ci-dessous

Tous ces nombres divisibles par la somme de leurs chiffres sont appelés nombres de Harshad.

 

Tableau pour k de 11 à 100

198            =    11        (    1      +    9      +    8      )

108            =    12        (    1      +    0      +    8      )

195            =    13        (    1      +    9      +    5      )

156            =    13        (    1      +    5      +    6      )

117            =    13        (    1      +    1      +    7      )

126            =    14        (    1      +    2      +    6      )

135            =    15        (    1      +    3      +    5      )

192            =    16        (    1      +    9      +    2      )

144            =    16        (    1      +    4      +    4      )

288            =    16        (    2      +    8      +    8      )

153            =    17        (    1      +    5      +    3      )

162            =    18        (    1      +    6      +    2      )

190            =    19        (    1      +    9      +    0      )

171            =    19        (    1      +    7      +    1      )

152            =    19        (    1      +    5      +    2      )

133            =    19        (    1      +    3      +    3      )

114            =    19        (    1      +    1      +    4      )

285            =    19        (    2      +    8      +    5      )

266            =    19        (    2      +    6      +    6      )

247            =    19        (    2      +    4      +    7      )

228            =    19        (    2      +    2      +    8      )

209            =    19        (    2      +    0      +    9      )

399            =    19        (    3      +    9      +    9      )

180            =    20        (    1      +    8      +    0      )

378            =    21        (    3      +    7      +    8      )

132            =    22        (    1      +    3      +    2      )

264            =    22        (    2      +    6      +    4      )

396            =    22        (    3      +    9      +    6      )

207            =    23        (    2      +    0      +    7      )

216            =    24        (    2      +    1      +    6      )

150            =    25        (    1      +    5      +    0      )

225            =    25        (    2      +    2      +    5      )

375            =    25        (    3      +    7      +    5      )

234            =    26        (    2      +    3      +    4      )

468            =    26        (    4      +    6      +    8      )

243            =    27        (    2      +    4      +    3      )

486            =    27        (    4      +    8      +    6      )

140            =    28        (    1      +    4      +    0      )

280            =    28        (    2      +    8      +    0      )

112            =    28        (    1      +    1      +    2      )

252            =    28        (    2      +    5      +    2      )

392            =    28        (    3      +    9      +    2      )

224            =    28        (    2      +    2      +    4      )

364            =    28        (    3      +    6      +    4      )

336            =    28        (    3      +    3      +    6      )

476            =    28        (    4      +    7      +    6      )

308            =    28        (    3      +    0      +    8      )

448            =    28        (    4      +    4      +    8      )

588            =    28        (    5      +    8      +    8      )

261            =    29        (    2      +    6      +    1      )

270            =    30        (    2      +    7      +    0      )

372            =    31        (    3      +    7      +    2      )

465            =    31        (    4      +    6      +    5      )

558            =    31        (    5      +    5      +    8      )

576            =    32        (    5      +    7      +    6      )

594            =    33        (    5      +    9      +    4      )

102            =    34        (    1      +    0      +    2      )

204            =    34        (    2      +    0      +    4      )

306            =    34        (    3      +    0      +    6      )

408            =    34        (    4      +    0      +    8      )

315            =    35        (    3      +    1      +    5      )

324            =    36        (    3      +    2      +    4      )

648            =    36        (    6      +    4      +    8      )

370            =    37        (    3      +    7      +    0      )

111            =    37        (    1      +    1      +    1      )

481            =    37        (    4      +    8      +    1      )

222            =    37        (    2      +    2      +    2      )

592            =    37        (    5      +    9      +    2      )

333            =    37        (    3      +    3      +    3      )

444            =    37        (    4      +    4      +    4      )

555            =    37        (    5      +    5      +    5      )

666            =    37        (    6      +    6      +    6      )

407            =    37        (    4      +    0      +    7      )

777            =    37        (    7      +    7      +    7      )

518            =    37        (    5      +    1      +    8      )

888            =    37        (    8      +    8      +    8      )

629            =    37        (    6      +    2      +    9      )

999            =    37        (    9      +    9      +    9      )

342            =    38        (    3      +    4      +    2      )

684            =    38        (    6      +    8      +    4      )

351            =    39        (    3      +    5      +    1      )

120            =    40        (    1      +    2      +    0      )

240            =    40        (    2      +    4      +    0      )

360            =    40        (    3      +    6      +    0      )

480            =    40        (    4      +    8      +    0      )

738            =    41        (    7      +    3      +    8      )

756            =    42        (    7      +    5      +    6      )

774            =    43        (    7      +    7      +    4      )

645            =    43        (    6      +    4      +    5      )

516            =    43        (    5      +    1      +    6      )

792            =    44        (    7      +    9      +    2      )

 

 

405            =    45        (    4      +    0      +    5      )

230            =    46        (    2      +    3      +    0      )

460            =    46        (    4      +    6      +    0      )

690            =    46        (    6      +    9      +    0      )

322            =    46        (    3      +    2      +    2      )

552            =    46        (    5      +    5      +    2      )

782            =    46        (    7      +    8      +    2      )

414            =    46        (    4      +    1      +    4      )

644            =    46        (    6      +    4      +    4      )

874            =    46        (    8      +    7      +    4      )

506            =    46        (    5      +    0      +    6      )

736            =    46        (    7      +    3      +    6      )

966            =    46        (    9      +    6      +    6      )

828            =    46        (    8      +    2      +    8      )

423            =    47        (    4      +    2      +    3      )

846            =    47        (    8      +    4      +    6      )

432            =    48        (    4      +    3      +    2      )

864            =    48        (    8      +    6      +    4      )

441            =    49        (    4      +    4      +    1      )

882            =    49        (    8      +    8      +    2      )

735            =    49        (    7      +    3      +    5      )

450            =    50        (    4      +    5      +    0      )

918            =    51        (    9      +    1      +    8      )

780            =    52        (    7      +    8      +    0      )

312            =    52        (    3      +    1      +    2      )

624            =    52        (    6      +    2      +    4      )

936            =    52        (    9      +    3      +    6      )

954            =    53        (    9      +    5      +    4      )

972            =    54        (    9      +    7      +    2      )

110            =    55        (    1      +    1      +    0      )

220            =    55        (    2      +    2      +    0      )

330            =    55        (    3      +    3      +    0      )

440            =    55        (    4      +    4      +    0      )

550            =    55        (    5      +    5      +    0      )

660            =    55        (    6      +    6      +    0      )

770            =    55        (    7      +    7      +    0      )

880            =    55        (    8      +    8      +    0      )

990            =    55        (    9      +    9      +    0      )

605            =    55        (    6      +    0      +    5      )

715            =    55        (    7      +    1      +    5      )

825            =    55        (    8      +    2      +    5      )

935            =    55        (    9      +    3      +    5      )

504            =    56        (    5      +    0      +    4      )

513            =    57        (    5      +    1      +    3      )

870            =    58        (    8      +    7      +    0      )

522            =    58        (    5      +    2      +    2      )

531            =    59        (    5      +    3      +    1      )

540            =    60        (    5      +    4      +    0      )

732            =    61        (    7      +    3      +    2      )

915            =    61        (    9      +    1      +    5      )

320            =    64        (    3      +    2      +    0      )

640            =    64        (    6      +    4      +    0      )

960            =    64        (    9      +    6      +    0      )

512            =    64        (    5      +    1      +    2      )

832            =    64        (    8      +    3      +    2      )

704            =    64        (    7      +    0      +    4      )

201            =    67        (    2      +    0      +    1      )

402            =    67        (    4      +    0      +    2      )

603            =    67        (    6      +    0      +    3      )

804            =    67        (    8      +    0      +    4      )

612            =    68        (    6      +    1      +    2      )

621            =    69        (    6      +    2      +    1      )

210            =    70        (    2      +    1      +    0      )

420            =    70        (    4      +    2      +    0      )

630            =    70        (    6      +    3      +    0      )

840            =    70        (    8      +    4      +    0      )

730            =    73        (    7      +    3      +    0      )

511            =    73        (    5      +    1      +    1      )

803            =    73        (    8      +    0      +    3      )

912            =    76        (    9      +    1      +    2      )

702            =    78        (    7      +    0      +    2      )

711            =    79        (    7      +    1      +    1      )

720            =    80        (    7      +    2      +    0      )

410            =    82        (    4      +    1      +    0      )

820            =    82        (    8      +    2      +    0      )

902            =    82        (    9      +    0      +    2      )

510            =    85        (    5      +    1      +    0      )

801            =    89        (    8      +    0      +    1      )

810            =    90        (    8      +    1      +    0      )

910            =    91        (    9      +    1      +    0      )

100            =    100      (    1      +    0      +    0      )

200            =    100      (    2      +    0      +    0      )

300            =    100      (    3      +    0      +    0      )

400            =    100      (    4      +    0      +    0      )

500            =    100      (    5      +    0      +    0      )

600            =    100      (    6      +    0      +    0      )

700            =    100      (    7      +    0      +    0      )

800            =    100      (    8      +    0      +    0      )

900            =    100      (    9      +    0      +    0      )

 

 

 

 

 

Puissance de la somme des chiffres:

 

Nombre égal à une puissance de la somme de ses chiffres.

 

 

N = (c + d + u) k

Ces nombres avec k = 3 (cubes) sont appelés nombres de Dudeney (1857-1930). Cette appellation peut être généralisée à d'autres puissances: Nombres digipuissants.

Après la puissance 4 et 7 chiffres, le suivant est 9020 avec 41 chiffres.

*    Avec 1 chiffre

1

= (1) k

*    Avec 2 chiffres

/

 

*    Avec 3 chiffres

512

= (5 + 1 + 2) 3

*    Avec 4 chiffres

4 913

5 832

2 401

= (4 + 9 + 1 + 3) 3

= (5 + 8 + 3 + 2) 3
= (2 + 4 + 0 + 1) 4

*    Avec 5 chiffres

17 576

19 683

= (1 + 7 + 5 + 7 + 6) 3

= (1 + 9 + 6 + 8 + 3) 3

*    Avec 6 chiffres

234 256

390 625

614 656

= (2+3+4+2+5+6) 4

= (3+9+0+6+2+5) 4

= (6+1+4+6+5+6) 4

*    Avec 7 chiffres

1 679 616

= (1+6+7+9+6+1+6)4

 

Seules solutions pour n chiffres

Voir Nombres carrément carrés

Voir site Generalized Dudeney numbers pour plus grands et preuves

 

 

 

Produit et somme

Nombre égal au produit de la somme des chiffres par le produit des chiffres.

N = S . P = (c + d + u)   x   (c . d. u)

*    Deux chiffres

Aucun

 

*    Trois chiffres

Seules solutions  =>

135

144

= (1+3+5) (1x3x5)

= (1+4+4) (1x4x4)

*    Quatre chiffres

Aucun

 

Suite en Nombres SP

 

 

 

 

Nombre 108, le seul …

 

Montrer que:

Le nombre 108 est le seul

égal à 12 fois

la somme de ses chiffres.

 

108 = 12 x (1 + 0 + 8)

 

108 est un nombre de Harshad.

Supposons un nombre à deux chiffres

N = 10a + b = 12 (a + b)

2a + 11b = 0

a et b étant positifs, impossible de faire 0.

Nombres à trois chiffres

N = 100a + 10b + c = 12 (a + b + c)

 

88a = 2b + 11c

Même avec b et c = 10, 88a ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 1

 

8 x 11 a = 11 c + 2b

Écrit de cette manière, on déduit: c = 8 et b = 0

 

Soit N = 108

Nombres à quatre chiffres

N = 1000a + 100b + 10c+ d = 12 (a + b + c + d)

988a + 88b = 2c + 11d

 

Même avec b et c = 10, la partie à droite ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 0.

Impossible avec quatre chiffres.

 

 

 

 

Suite

*    Somme et produit des chiffres

*    Nombre = S x P

*    Nombres de Harshad

Voir

*    Jeux avec les chiffres

*    Puzzles - Index

DicoNombre

*    Nombre 45

*    Nombre 77

*    Nombre 679

*    Nombre 6 788

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