NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 07/05/2021

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique            Brèves de Maths

      

NOMBRES ET JEUX

 

Débutants

Général

Jeux avec Nombres

 

Glossaire

Général

 

INDEX

Jeux de nombres

Jeux et énigmes

 

Somme des chiffres

Narcissiques

Formes et motifs

Nombres en chiffres

Chiffres

Sudoku

Fubuko

Somme 100

Somme

Produit

Bento

Kakuro

Somme 100 en 6 chiffres

 

Sommaire de cette page

>>>  Approche n = 5 x somme des chiffres

>>>  Nombre 108 = 12 x somme des chiffres

>>>  Nombres à 2 chiffres n = k.s

>>>  Nombres à 3 chiffres n = k.s

>>>  Nombres produit = k.s

>>>  Puissance des chiffres

>>>  Nombres = Somme x Produit des chiffres

 

 

 

 

 

SOMME des CHIFFRES

multiple du nombre

 

Trouver des nombres tels que la somme de leurs chiffres divise le nombre lui-même => Nombres de Harshad

 

N = k fois Somme des chiffres

 

 

 

Approche avec n = 5 fois la somme des chiffres

On cherche tous les nombres égaux à cinq fois la somme de leurs chiffres.

Sont-ils nombreux ?

Tous ces nombres divisibles par la somme de leurs chiffres sont appelés: nombres de Harshad.

Écriture d'un nombre et de sa valeur

Condition pour que 5 fois la somme des chiffres soit égale au nombre

N = 100c + 10d + u = 5c + 5d + 5u

Avec un seul chiffre

N = u = 5u

Seule possibilité: N = 0 (trivial)

Avec deux chiffres

N =  10d + u = 5d + 5u

           5d        =           4u

              d        =     4/5 u

Seule possibilité: u = 5 et d= 4.

N = 45 = 5 x (4+5)

Avec trois chiffres

N = 100c + 10d + u

    = 5c + 5d + 5u

 

95c + 5d =     4u

19c +   d = 4/5 u

u vaut 0, alors c et d = 0 (trivial).

 

u = 5, alors 19c + d = 4

Ce qui est impossible à réaliser (19c étant bien trop grand).

 

Bilan

N = 45  est le seul cas où un nombre

vaut 5 fois la somme de ses chiffres.

On trouvera également que N = 54 

est le seul cas avec 6.

Autres exemples

N = [12, 24, 36, 48] sont les seuls cas où un nombre vaut 4 fois la somme de ses chiffres.

N = [21, 42, 63, 84] pour 7 fois.

Notez que ces quatre nombres sont les retournés des quatre identifiés pour 4 fois.

 

 

Nombre 108 = 12 fois somme des chifffres

 

Montrer que:

Le nombre 108 est le seul

égal à 12 fois

la somme de ses chiffres.

 

108 = 12 x (1 + 0 + 8)

 

108 est un nombre de Harshad.

Supposons un nombre à deux chiffres

N = 10a + b = 12 (a + b)

2a + 11b = 0

a et b étant positifs, impossible de faire 0.

Nombres à trois chiffres

N = 100a + 10b + c = 12 (a + b + c)

 

88a = 2b + 11c

Même avec b et c = 10, 88a ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 1

 

8 x 11 a = 11 c + 2b

Écrit de cette manière, on déduit: c = 8 et b = 0

 

Soit N = 108

Nombres à quatre chiffres

N = 1000a + 100b + 10c+ d = 12 (a + b + c + d)

988a + 88b = 2c + 11d

 

Même avec b et c = 10, la partie à droite ne dépasse par 20 + 110 = 130; ce qui impose a = 0.

Impossible avec quatre chiffres.

 

 

Nombres à DEUX chiffres = k · S

 

Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que 10 d . u = k (d + u)

N n'est jamais somme des chiffres.

Il est une fois le double pour 18.

Etc.

 

Solutions triviales pour les multiples de 10

/     =    1         (    /        )

18  =    2          (    1      +    8      )

27  =    3          (    2     +    7     )

12  =    4         (    1      +    2     )

24  =    4         (    2     +    4     )

36  =    4         (    3     +    6     )

48  =    4         (    4     +    8     )

45  =    5         (    4     +    5     )

54  =    6         (    5     +    4     )

21  =    7         (    2      +    1     )

42  =    7         (    4     +    2     )

63  =    7         (    6     +    3     )

84  =    7         (    8     +    4     )

72  =    8         (    7     +    2     )

81  =    9          (    8     +    1     )

10, 20…   =    10       (    1      +    0     )

Voir Nombres égaux à la somme des puissances de leurs chiffres

 

 

Nombres à TROIS chiffres  / Somme:

 

Quels sont les nombres à trois chiffres pour lesquels le nombre vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que 100.c + 10. d . u

= k (c + d + u)

*    Pour k de 1 à 10

Aucun 

 

*    Pour k = 11

198

= 11 (1 + 9 + 8)

*    Pour k = 12 (voir démonstration)

108

= 12 (1 + 0 + 8)

Voir Table des nombres k fois la somme des chiffres /

Table des nombres égaux à k fois la somme de leurs chiffres

 

 

 

 

 

Nombres Produit = k x Somme

 

Quels sont les nombres à deux chiffres pour lesquels le produit des chiffres vaut k fois la somme des chiffres.

 

N tel que  d . u = k (d + u)

*    Le produit vaut la somme

N => d . u  = d + u

22

2 x 2 = 2 + 2

*    Le double de la somme

N => d . u  = 2 (d + u)

36

44

3 x 6 = 2 (3 + 6)

4 x 4 = 2 (4 + 4)

*    Trois fois

N => d . u  = 3 (d + u)

63

66

6 x 3 = 2 (6 + 3)

6 x 6 =  3 (6 + 6)

*    Quatre fois

N => d . u  = 4 (d + u)

88

8 x 8 =  4 (8 + 8)

*    Cinq fois

N => d . u  = 5 (d + u)

Aucun

 

*    Une demi fois

N => d . u  = ½ (d + u)

11

1 x 1 =  (1 + 1) / 2

*    Au carré

N => d . u = (d + u)²

Aucun

 

Voir Développements sur ce sujet: nombres somme-produit /

Tables pour n jusqu'à 1000  et k jusqu'à 20

 

 

Puissance de la somme des chiffres:

 

Nombre égal à une puissance de la somme de ses chiffres.

 

 

N = (c + d + u) k

Ces nombres avec k = 3 (cubes) sont appelés nombres de Dudeney (1857-1930). Cette appellation peut être généralisée à d'autres puissances: Nombres digipuissants.

Après la puissance 4 et 7 chiffres, le suivant est 9020 avec 41 chiffres.

*    Avec 1 chiffre

1

= (1) k

*    Avec 2 chiffres

/

 

*    Avec 3 chiffres

512

= (5 + 1 + 2) 3

*    Avec 4 chiffres

4 913

5 832

2 401

= (4 + 9 + 1 + 3) 3

= (5 + 8 + 3 + 2) 3
= (2 + 4 + 0 + 1) 4

*    Avec 5 chiffres

17 576

19 683

= (1 + 7 + 5 + 7 + 6) 3

= (1 + 9 + 6 + 8 + 3) 3

*    Avec 6 chiffres

234 256

390 625

614 656

= (2+3+4+2+5+6) 4

= (3+9+0+6+2+5) 4

= (6+1+4+6+5+6) 4

*    Avec 7 chiffres

1 679 616

= (1+6+7+9+6+1+6)4

Voir Nombres digipuissants / Nombres carrément carrés

Voir site Generalized Dudeney numbers pour plus grands et preuves

 

 

 

Nombres = Somme x Produit des chiffres

Nombre égal au produit de la somme des chiffres par le produit des chiffres.

N = S . P = (c + d + u)   x   (c . d. u)

*    Deux chiffres

Aucun

 

*    Trois chiffres

Seules solutions  =>

135

144

= (1+3+5) (1x3x5)

= (1+4+4) (1x4x4)

*    Quatre chiffres

Aucun

 

Suite en Nombres SP

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Produit des chiffres

*    Somme et produit des chiffres

*    Nombre = S x P

*    Nombres de Harshad

*    Nombre de Harshad, somme et produit

Voir

*    Somme et produit des chiffresIndex

*    Jeux avec les chiffres

*    Puzzles - Index

DicoNombre

*    Nombre 45

*    Nombre 77

*    Nombre 679

*    Nombre 6 788

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux/jeumcdu.htm