NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Somme x Produit

Somme  = Produit

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Exemples

>>> Nombres SP

>>> Nombres presque SP

>>>  Itérations

 

 

 

 

Somme x Produit

des chiffres d'un nombre

SP

  

Nous connaissons la somme des chiffres et le produit des chiffres. Et si nous les multipliions? Ici, nous garderons les calculs originaux sans recourir à des itérations dans un premier temps.

Les cas intéressants sont ceux pour lesquels le nombre serait égal au produit SP. Cela n'arrive que pour 135 et 144.

 

Anglais: Sum-Product numbers

 

 

Approche

 

*    Le SP (Somme x Produit) d'un nombre est le produit de la somme de ses chiffres (S) par le produit de ses chiffres (P).



*    SP = (somme de ses q chiffres) x (produit de ses q chiffres)

Qui se lit: le nombre "somme fois produit" (SP) est égal à la somme de tous les ièmes chiffres pour i de 1 à q (quantité de chiffres) multipliée par le produit de tous les ièmes chiffres pour i de 1 à q.

 

Notes

*    Lorsqu'il n'y a qu'un seul chiffre SP = N², car somme et produit sont égaux. Ex: SP(4) = 4 x 4 = 16.

*    Lorsqu'il à plusieurs chiffres, tous les nombres ayant les mêmes chiffres permutés produisent le même SP.

Ex 12  (1+2) (1x2) = 3 x 2 = 6 … et

      21  (2+1) (2x1) = 3 x 2 = 6 …

 

Exemples pour les nombres de 0 à 99

(En rouge les nombres en double)

 

 

Nombres SP

 

*    Les nombres SP sont  ceux pour lesquels N = SP.
Il y en a deux triviaux (0 et 1) et seulement deux intéressants:

 

*    Il n'y en a pas d'autres; prouvé par David Wilson.
Il a été prouvé aussi qu'il y en a une quantité finie quelle que soit la base utilisée.

 

Notez que   S(144) = 9 = 3² et P(144) = 16 = 4². Deux carrés.
Conséquence: le produit est un carré: 144 = 9 x 16 = 3² x 4² = 12²

 

 

Presque SP

 

*    Nombres tels que N = SP  k (écart).

 

Exemple (pour N jusqu'à 10 000)

 

 

Itération

 

*    Prenons le SP d'un nombre et appliquons à ce nouveau nombre le calcul SP. Et, ceci autant de fois que possible.

 

Exemple

 

On note: 132, 36, 162, 108, 0

 

Autres exemples

0, 0

1, 1

2, 4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0 (6 cycles)

3, 9, 81, 72, 126, 108, 0

4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0

5, 25, 70, 0

6, 36, 162, 108, 0

7, 49, 468, 3456, 6480, 0

8, 64, 240, 0

9, 81, 72, 126, 108, 0

10, 0

11, 2 … (7 cycles)

88, 1024, 0

115, 35, 120, 0

114, 24, 48, 384, 1440, 0

111, 3, 9, 81, 72, 126, 108, 0

567, 3780, 0

789, 12096, 0

123456, 15120, 0

92, 198, 1296, 1944, 2592, 3240, 0

999, 19683, 34992, 52488, 69120, 0

9996, 144342, 6912, 1944, 2542, 3240, 0

 

*    Compte tenu de la fréquence des 0 et des produits donnant un 0, se peut-il que tous les nombres itérés de cette manière aboutissent sur 0 ?

*    Pas tous car, il y aura ceux qui boucleront sur 135 ou 144 (voir nombre SP ci- dessus) et ceux qui vont boucler sur 1. On retrouve les quatre nombre SP, ce qui est normal !

 

Exemples

1, 1

332, 144, 144 …

89, 1224, 144, 144 …

139, 351, 135, 135 …

 

 Suite en Table des nombres SP en itération

 

*    Les nombres 2 et 11, font fort. Il faut 6 et 7 itérations pour aboutir à 0. Pas mieux jusqu'à 3,7 million.

 

11, 2, 4, 16, 42, 48, 384, 1440, 0

 

*    Ce record mis de côté, on trouve successivement:

              12 avec 4 itérations.

              13 avec 5

            111 avec 6

       36 699 avec 7; jeu égal avec 11.

  1 233 699 le suivant avec 7 itérations.

  3 777 788 avec 8.

11 138 888 suivant avec 8.

Aucun autre jusqu'à cent millions.

 

*    Cas du record à huit itérations:

3 777 788, 21 666 624, 684 288, 884 736, 1 161 216, 1 296, 1 944,  2592, 3 240, 0.

 

Voir Autres motifs à cycles

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme et produit d'un nombre – Identiques

*    Boucle Syracuse (ou 3x + 1)

*    Cycles de Kaprekar

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*    Numération - historique

*    Pannumérique

*    Somme et produit en équations

*    Unité des puissances

Site

*    Sum-product numberMathworld (avec démonstration de la finitude des nombres SP pour chaque base)

Cette page

*       http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Chiffres/MulSP.htm