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PUISSANCE 4 Jeu de grille 7 x 6 commercialisé par Milton Bradley (MB
devenu Hasbro)) depuis 1974. Voisin du jeu de Morpion
sur papier. On dit que le capitaine Cook jouait déjà à se jeu avec ses
officiers pour passer le temps. Jeu déterministe qui, s'il est bien joué, donne
la victoire au premier joueur. Il existe des variantes comme le Puissance 5, le
Connect 6 ou encore la version 3 D avec un cube 4 x 4 x 4 (Sogo de
Ravensburger de 1978). |
Anglais: Connect Four or Captain Mistress
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Jeu de grille sur sept
colonnes et six rangées. Soit 42 cases. Chaque joueur dispose de 21 pions de
couleur différente.
Jeu apparenté au MORPION
consistant à aligner quatre pions de la même couleur dans une grille. Règle du jeu
Chaque, à tour de rôle,
place un pion de sa couleur dans une colonne verticale. Le pion prend place
au fond de la colonne ou au-dessus du dernier pion présent.
Celui qui réussit à placer
quatre pions alignés en horizontal, vertical ou diagonal est le vainqueur.
Si les 42 pions sont posés
sans alignement, la partie est déclarée nulle. |
Grille avec configuration gagnante pour les
rouges Quatre possibilités d'alignement |
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Jeu résolu en 1988 par James
Allen et Vitor Allis, indépendamment. |
Le placement dans la colonne centrale est déterminant. C'est elle qui
donne le plus de possibilités d'alignements. |
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À condition de jouer au
mieux, si le premier joueur joue le premier pion dans la
colonne centrale, il gagne.
colonne 3 et 5, la partie
est nulle
autres colonnes, le joueur 2
gagne. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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J2 |
J2 |
Jnulle |
J1 |
Jnulle |
J2 |
J2 |
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Lorsqu'un joueur place trois
pions alignés, la situation devient menaçante pour l'autre joueur, surtout
s'il ne peut pas la bloquer.
L'idée consiste à créer des
situations doublement menaçantes telles que, quel que soit le mouvement de
l'adversaire, l'alignement sera produit. |
Positions menaçantes |
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Une borne supérieure
consiste à calculer toutes les
possibilités, sachant que chaque case peut être {vide, bleue ou rouge}.
Pour être plus rigoureux, il
faudrait interdire tous les cas comportant un alignement gagnant. Il faut
éliminer toutes les cellules vides au-dessus d'un cas gagnant |
Qmax1 = 37x6
= 109 418 989 131 512 359 209 = 1,09 … 1020 Qmax2 = 1,6
1013 Cette valeur est la meilleure estimation,
calculée par ordinateur. |
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Le décompte des parties
gagnantes est plus facile =>
La quantité de combinaisons
qui conduisent à ces parties gagnantes est à nouveau un calcul combinatoire
compliqué. |
Dans une rangée de 7 cases, il y a 4
possibilités d'avoir un alignement de quatre pions. Soit 6 x 4 = 24
alignements horizontaux. Dans une colonne de 6 cases, il y a 3
possibilités. Soit 7 x 3 = 21 alignement verticaux. Pour les diagonales montantes, on compte 12
possibilités. Et la même chose pour les diagonales descendantes. Soit 2 x 12
= 24. Le total donne: 24 + 21 + 24 = 69 parties
gagnantes. |
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Tic-Tac-Toe
757 positions différentes au Tic-Tac-Toe sans
les rotations et réflexions. Sinon 5 478 positions. Il existe 26 830
possibilités de parties différentes sans les rotations et réflexions. |
Idée de programmation amusante et
introduction à la percolation
Percolation L’idée
consiste à comprendre ce qui se passe dans un matériau poreux comme la pierre
ponce (ou le café, d’où le nom du champ de recherche). Quand de l’eau
traverse une telle matière, quel chemin emprunte-t-elle ? Est-elle
bloquée, passe-t-elle tout droit ou suit-elle des voies tortueuses ? Le
régime des voies tortueuses est d’ailleurs synonyme de ce qu’on appelle en
physique théorique une transition de phase, celle qui sépare l’état « imperméable »
de l’état « sans entraves ». Pour modéliser ce problème, les
mathématiciens utilisent notamment des « graphes aléatoires » qui
simulent tous les chemins possibles et dont on peut étudier les propriétés de
connectivité. Voir
Hugo Duminil-Copin – Médaille
Fields 2022 Une idée
pratique Imaginez un jeu de puissance 4 sur une grille plus vaste.
les jetons sont placés dans une colonne
au hasard et tombent le plus bas possible. Au bout d'un grand nombre de
chutes, se dessine une courbe
de Gauss.
même chose, mais les jetons sont
aimantés. Ils tombent jusqu'au fond sauf s'ils se collent à un voisin (percolation). Alors apparaissent des figures en
forme de fougères, très jolies! Voir Programmation La théorie de la percolation
est due à Broadbent et John Hammersley en 1957. Ce dernier avoue que le
développement a été rendu possible du fait de la performance des calculateurs. La percolation passe
pour être facile à formuler, par contre très difficile à résoudre. Percolare en latin veut dire couler à travers, traverser; à
la manière de l'eau du percolateur qui est injectée à travers la poudre de
café comprimé. C'est quoi en maths? Tout
d'abord une grille carrée infinie (en fait une grand feuille de papier
quadrillé; en théorie, on dirait: 2
avec l'idée de généralisation à n).
La grille comporte des points, et les points voisins par un côté (pas par la
diagonale) forment des paquets (clusters).
Exemple présentant 8 points dont 5 en deux clusters La
théorie de la percolation étudie la quantité et les propriétés de tels
clusters. Quelles sont les routes possibles
entre les clusters? Cette théorie étudie également les conditions (probabilités, seuils) de passage d'un état à un
autre (connexion des points en un amas infini). Application par exemple à la constitution des molécules (polymérisation), la
propagation des incendies, l'écoulement des
liquides plus ou moins visqueux en milieu poreux, fonte des glaciers, propagation
des épidémies, migrations. Une expérience instructive: des milliers de petites billes
de deux sortes: les unes isolantes et les autres conductrices. Elles sont
secouées pour les placer à plat dans le fond d'une boite triangulaire
légèrement en pente de sorte que les billes se touchent. On étudie les
circuits électriques qui s'établissent (électricité de percolation). Études importantes dans ce domaine à Marseille avec Clerc et
ses collègues. Notion associées: labyrinthes, graphes, fractales. |
Suite |
Jeux et énigmes – Index
Jeux avec nombres ou lettres – Index |
Voir |
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Livre |
Introduction to
Percolation Theory – Amnon Aharony et Dietrich Stauffer |
Sites |
Connect Four – Wikipedia pour
l'animation
Connect Four –
Wolfram MathWorld
Connect Four
– Quantité de jeux et stratégie A
Knowledge-based Approach to Connect Four – Victor Allis
La percolation – Open Classrooms – Explications abordables en français.
La
percolation, jeu de pavage aléatoire – Hugo Duminil-Copin – Pour la
Science – 28 janvier 2012 |
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