NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Jeu Puissance 4

>>> Solution

>>> Quantité de jeux

>>> Théorie de la percolation

 

 

 

 

 

 

PUISSANCE 4

 

Jeu de grille  7 x 6 commercialisé par Milton Bradley (MB devenu Hasbro)) depuis 1974. Voisin du jeu de Morpion sur papier. On dit que le capitaine Cook jouait déjà à se jeu avec ses officiers pour passer le temps.

Jeu déterministe qui, s'il est bien joué, donne la victoire au premier joueur.

Il existe des variantes comme le Puissance 5, le Connect 6 ou encore la version 3 D avec un cube 4 x 4 x 4 (Sogo de Ravensburger de 1978).

Anglais: Connect Four or Captain Mistress

  

 

Puissance 4

 

*    Jeu de grille sur sept colonnes et six rangées. Soit 42 cases. Chaque joueur dispose de 21 pions de couleur différente.

*    Jeu apparenté au MORPION consistant à aligner quatre pions de la même couleur dans une grille.

 

 

Règle du jeu

*    Chaque, à tour de rôle, place un pion de sa couleur dans une colonne verticale. Le pion prend place au fond de la colonne ou au-dessus du dernier pion présent.

*    Celui qui réussit à placer quatre pions alignés en horizontal, vertical ou diagonal est le vainqueur.

*    Si les 42 pions sont posés sans alignement, la partie est déclarée nulle.
 

 

Grille avec configuration gagnante pour les rouges

 

 

Quatre possibilités d'alignement

 

 

 

Puissance 4 – Solution

*    Jeu résolu en 1988 par James Allen et Vitor Allis, indépendamment.

Le placement dans la colonne centrale est déterminant. C'est elle qui donne le plus de possibilités d'alignements.

 

*    À condition de jouer au mieux, si le premier joueur joue le premier pion dans la

*      colonne centrale, il gagne.

*      colonne 3 et 5, la partie est nulle

*      autres colonnes, le joueur 2 gagne.

 

1

2

3

4

5

6

7

J2

J2

Jnulle

J1

Jnulle

J2

J2

*    Lorsqu'un joueur place trois pions alignés, la situation devient menaçante pour l'autre joueur, surtout s'il ne peut pas la bloquer.

*    L'idée consiste à créer des situations doublement menaçantes telles que, quel que soit le mouvement de l'adversaire, l'alignement sera produit.

 

Positions menaçantes

 

 

 

Puissance 4 – Quantité de jeux

 

*    Une borne supérieure consiste à calculer toutes les possibilités, sachant que chaque case peut être {vide, bleue ou rouge}.

*    Pour être plus rigoureux, il faudrait interdire tous les cas comportant un alignement gagnant. Il faut éliminer toutes les cellules vides au-dessus d'un cas gagnant

 

Qmax1 = 37x6 = 109 418 989 131 512 359 209

                     = 1,09 … 1020

 

Qmax2 = 1,6 1013

 

Cette valeur est la meilleure estimation, calculée par ordinateur.

 

 

*    Le décompte des parties gagnantes est plus facile =>

 

*    La quantité de combinaisons qui conduisent à ces parties gagnantes est à nouveau un calcul combinatoire compliqué.

 

Dans une rangée de 7 cases, il y a 4 possibilités d'avoir un alignement de quatre pions. Soit 6 x 4 = 24 alignements horizontaux.

Dans une colonne de 6 cases, il y a 3 possibilités. Soit 7 x 3 = 21 alignement verticaux.

Pour les diagonales montantes, on compte 12 possibilités. Et la même chose pour les diagonales descendantes. Soit 2 x 12 = 24.

Le total donne: 24 + 21 + 24 = 69 parties gagnantes.

 

  

 

 

 

Idée de programmation amusante et introduction à la percolation

Imaginez un jeu de puissance 4 sur une grille plus vaste.

*    les jetons sont placés dans une colonne au hasard et tombent le plus bas possible. Au bout d'un grand nombre de chutes, se dessine une courbe de Gauss.

*    même chose, mais les jetons sont aimantés. Ils tombent jusqu'au fond sauf s'ils se collent à un voisin (percolation). Alors apparaissent des figures en forme de fougères, très jolies!

Voir Programmation

 

La théorie de la percolation est due à Broadbent et John Hammersley en 1957. Ce dernier avoue que le développement a été rendu possible du fait de la performance des calculateurs. La percolation passe pour être facile à formuler, par contre très difficile à résoudre.

Percolare en latin veut dire couler à travers, traverser; à la manière de l'eau du percolateur qui est injectée à travers la poudre de café comprimé.

C'est quoi en maths? Tout d'abord une grille carrée infinie (en fait une grand feuille de papier quadrillé; en théorie, on dirait: 2 avec l'idée de généralisation à n). La grille comporte des points, et les points voisins par un côté (pas par la diagonale) forment des paquets (clusters).

 

Exemple présentant 8 points dont 5 en deux clusters

 

La théorie de la percolation étudie la quantité et les propriétés de tels clusters. Quelles sont les routes possibles entre les clusters? Cette théorie étudie également les conditions (probabilités, seuils) de passage d'un état à un autre (connexion des points en un amas infini).

Application par exemple à la constitution des molécules (polymérisation), la propagation des incendies, l'écoulement des liquides plus ou moins visqueux en milieu poreux, fonte des glaciers, propagation des épidémies, migrations.

Une expérience instructive: des milliers de petites billes de deux sortes: les unes isolantes et les autres conductrices. Elles sont secouées pour les placer à plat dans le fond d'une boite triangulaire légèrement en pente de sorte que les billes se touchent. On étudie les circuits électriques qui s'établissent (électricité de percolation).

Études importantes dans ce domaine à Marseille avec Clerc et ses collègues.

Notion associées: labyrinthes, graphes, fractales.

 

 

 

 

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Livre

*      Introduction to Percolation Theory Amnon Aharony et Dietrich Stauffer

Sites

*      Connect Four – Wikipedia pour l'animation

*      Connect Four – Wolfram MathWorld

*      Connect Four – Quantité de jeux et stratégie

*      A Knowledge-based Approach to Connect Four – Victor Allis

*      La percolation – Open Classrooms – Explications abordables en français.

*      La percolation, jeu de pavage aléatoire – Hugo Duminil-Copin – Pour la Science – 28 janvier 2012

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Societe/Puiss4.htm