NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

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Nombres géométriques

CARRÉS

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

INDEX

 

Puissances

 

 

Carrés

Formes

Unités

 Terminaison

 

Sommaire de cette page

>>>  Propriété générale

>>>  Premier bilan

>>>  Carrés terminés par 0

>>>  Carrés terminés par 1

>>>  Carrés terminés par 4

>>>  Carrés terminés par 9

>>>  Carrés terminés par 5

>>>  Carrés terminés par 6

>>>  Second bilan

 

 

 

CARRÉS – Chiffres finaux

 

Quels sont les seuls chiffres possibles à la fin des carrés?

Nous nous intéressons particulièrement à la répétition de chiffres finaux. Eh bien, ils ne se répètent pratiquement jamais! (Sauf avec 0).

 

Notations

 

Voir Unités des puissances

 

 

Propriété générale

 

Dizaines

 

Isolons la dizaine et l'unité du nombre

et formons son carré.

 

Le carré possède une structure en deux termes dont le premier (100K) est terminé par deux zéro. Si bien que, seul le terme h² détermine les unités et dizaines du carré.

 

N = 100 k + h

    avec h  =   

    et      h2 =

 

C = 10 000 k² + 100 x 2kh + h2

   = 100 (100k² +2kh) +

   = 100 K +

 

 

Tout nombre de mêmes unités et dizaines a un carré de mêmes (autres) unités et dizaines.

 

De plus,

Le DU du carré est égal au du du nombre élevé au carré dont on ne conserve que les deux derniers chiffres.

 

 =  mod 100

 

 

Exemples

 

 

 

 

Centaines

 

Isolons la centaine, la dizaine et l'unité du nombre

et formons son carré.

 

Le carré possède une structure en deux termes dont le premier (1000P) est terminé par trois zéro. Si bien que, seul le terme n² détermine les unités, dizaines et centaines du carré.

 

N = 1000 m + n

    avec n  =   

    et      n2 =

 

C = 106 m² + 103 x 2mn + n2

   = 1000 (104 m2 +2mn) +

   = 1000 P +

 

 

Tout nombre de mêmes unités, dizaines et centaines a un carré de mêmes (autres) unités, dizaines et centaines.

 

De plus,

Le CDU du carré est égal au Cdu du nombre élevé au carré dont on ne conserve que les trois derniers chiffres.

 

 =  mod 1000

 

 

Exemples

 

 

Premier bilan

 

D'une manière générale, des nombres qui ont les mêmes n derniers chiffres ont des carrés qui ont les mêmes (autres) n derniers chiffres.

En effet: (10n a + b = 10n k + b²

 

Cette propriété est vraie pour les cubes et toutes les puissances supérieures.

En effet: (10n a + b)m = 10n k + bm

 

Ex:1235 = 28153056843; 51235 = 3528757217069081843.

 

 

 

 

Unité du carré = 0

 

Tout nombre dont l'unité est 0 a un carré qui se termine par 0.

 

 

UC = 0

    UN = { 0 }

 

     02 =      0;          202 =        400

  102 =   100;       2102 =   44 100
1002 = 1000;    32102 = 674 100

Bilan

Tout carré terminé par 0 a un nombre pair de 0.

 

(…0)2 = …00

 

Un carré peut comporter de nombreux zéros, mais en quantité paire.

 

(…0…0 n zéros)2 = …0…..0 2n zéros

 

 

 

Unité du carré = 1

 

Tout nombre dont l'unité est 1 ou 9 a un carré qui se termine par 1.

 

 

UC = 1

    UN = { 1 ,  9 }

 

  1² =     1;    9² =   81

11² = 121; 19² = 361

 

La propriété générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par 1 ou 9.

 

Chiffres des dizaines relevés dans les tableaux:

 

D = {0, 2, 4, 6, 8}

 

D est pair et, en aucun cas le chiffre 1.

Bilan

Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 1.

 

n² = …11 n'existe pas

 

Les carrés terminés par un 1 sont suivis d'une dizaine paire.

 

(…1)2 = …

 

 

 

Unité du carré = 4

 

Tout nombre dont l'unité est 2 ou 8 a un carré qui se termine par 4.

 

 

UC = 4

    UN = { 2 ,  8 }

 

  2² =     4;    8² =   64

12² = 144; 18² = 324

 

La propriété générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par 2 ou 8.

 

Chiffres des dizaines relevés dans les tableaux:

 

D = {0, 2, 4, 6, 8}

 

D est pair et, en particulier 4 pour 12, 62, 38, 88.

 

 

 

Propriété générale appliquée aux centaines dans les quatre cas identifiés ci-dessus.

 

 

 

Seuls cas avec 444:

 

38,

538,

462 et

962.

 

Tous les nombres en

…38,

…538,

…462 et

…962

sont eux aussi terminés par 444.

 

Bilan

Il existe quatre types de carrés terminés par …444.

Il n'existe pas de carrés qui se terminent par plus de trois quatre.

 

Les carrés terminés par un 4 sont suivis d'une dizaine paire.

 

(…4)2 = …

 

 

 

Unité du carré = 9

 

Tout nombre dont l'unité est 3 ou 7 a un carré qui se termine par 9.

 

 

UC = 9

    UN = { 3 ,  7 }

 

  3² =     9;    7² =   49

13² = 169; 17² = 289

 

La propriété générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par 3 ou 7.

 

Chiffres des dizaines relevés dans les tableaux:

 

D = {0, 2, 4, 6, 8}

 

D est pair et, en aucun cas le chiffre 9.

Bilan

Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 9.

 

n² = …99 n'existe pas

 

Les carrés terminés par un 9 sont suivis d'une dizaine paire.

 

(…9)2  = …

 

 

Unité du carré = 5

 

Tout nombre dont l'unité est 5 a un carré qui se termine par 5.

 

 

UC = 5

    UN = { 5 }

 

  5² =   25;    115² =      13 225

15² = 225; 1115² = 1 243 225

 

La propriété générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par 5.

 

Tous ces carrés sont terminés par 25.

Bilan

Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 5.

 

n² = …55 n'existe pas

 

Les carrés terminés par un 5 sont terminés par 25.

 

(…5)2  = …

 

 

 

Unité du carré = 6

 

Tout nombre dont l'unité est 4 ou 6 a un carré qui se termine par 6.

 

 

UC = 6

    UN = { 4 ,  6 }

 

  4² =   16;    6² =   36

14² = 196; 16² = 256

 

La propriété générale en action: voyons tous les nombres inférieurs à 100 et terminés par 4 ou 6.

 

Chiffres des dizaines relevés dans les tableaux:

 

D = {1, 3, 5, 7, 9}

 

D est impair et, en aucun cas le chiffre 6.

Bilan

Il n'existe aucun carré terminé par plus d'un seul 6.

 

n² = …66 n'existe pas

 

Les carrés terminés par un 6 sont suivis d'une dizaine impaire.

 

(…6)2  = …

 

 

 

 

Second bilan

 

Terminaison des carrés

 

 

*    Un carré ne se termine jamais par: 2, 3, 7, 8.

*    Les carrés terminés par 1, 5, 6 ou 9 ne comportent aucun de ces chiffres répétés en dizaine.

*    Il n'existe que quatre nombres dont le carré est terminé en 444, et aucun avec quatre 4 ou plus.

*    Le carré d'un nombre terminé par des 0 est terminé par deux fois plus de 0.

 

 

 

 

Suite

*    Les nombres carrés

*    Nombres automorphiques carrés (Le carré se termine par le nombre)

*    Système décimal – Unités

*    Terminaisons des produits

*    Cycle des chiffres des carrés

Voir

*    Carrés – Calcul mental

*    Carrés – Somme pour nombres successifs

*    Carrés somme de cubes

*    Chiffres dans leurs puissances

*    Cubes – Calcul mental

*    Cubes – Somme pour nombres successifs

*    Racine carrée

*    Racines - Calcul

Diconombre

*    Nombre 2

*    Nombre 9

*    Nombre 38

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