somme des chiffres des nombres à une puissance

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/01/2012 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Nombres portés à une puissance.

Somme de leurs chiffres.

Deux types de questions concernant la somme S des chiffres d'un nombre N porté à une puissance k:

1) S = N

Exemple: 8³ = 512 & 5+1+2 = 8

2) Quelles sont les valeurs successives de S. Ou, autrement dit: quels sont les nombres qui sont somme des chiffres de l'une de leur puissance?

Exemples: Avec les carrés: 1, 4, 7, 9, 13 …

Avec les cubes: 1, 8, 9, 10, 18 …

1) Égalités

Cas d'égalité

Nombre Égal à la Somme des Chiffres d'une de ses Puissances (NESCHIP).

Alors, il n'existe qu'un seul cas pour les carrés et cinq cas pour les cubes. Le cas trivial du 1 est éliminé (1³ =1 & 1 = 1).

Voici les 33 cas pour les puissances de 4 à 10:

Voir Les cousins / Somme de cubes

2) Valeurs successives de la somme selon la puissance

CARRÉS
Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'un carré jusqu'à un million.	Exemple 2 236² = 4 999 696 4+9+9+9+6+9+6 = 52
Note: une fois une sommes trouvée, elle n'est pas répétée pour des nombres plus grand. Exemple: 5² = 25 & 2 + 5 = 7 qui est déjà dans le tableau avec 4² = 16 & 1 + 6 = 7.

CUBES
Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'un cube jusqu'à un million.	Exemple 13³ = 2 197 et 2+1+9+7 = 19
Voir Égalité de cubes en couples – Tableau des nombres donnant la somme 18

BICARRÉS (Puissance 4)
Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'une puissance quatrième jusqu'à un million.	Exemple 4⁴ = 256 et 2+5+6 = 13

Puissance 5
Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'une puissance cinquième jusqu'à un million.	Exemple 8⁵ = 32 768 et 3+2+7+6+8 = 26
Toujours pour un million: Avec la puissance 6 le maximum est 234. Avec la puissance 7 le maximum est 279.

Puissances du même nombre

Voici le tableau des puissances de 12 avec la somme de leurs chiffres.

Ces sommes sont toutes des multiples de 9 à partir du carré.

Voici le tableau des sommes pour tous les nombres de 2 à 15 (en colonnes) et pour les puissances de 1 à 15 (en lignes). On retrouve en colonne du 12 les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessus.

Les colonnes pour les multiples de 3 sont toutes en multiples de 9, à partir du carré.
Explication: dès que l'on multiplie 3 x 3, on obtient un 9. Dans les produits suivants (comme 3 x 3 x 3), il y a un 9 "inside". Or, la somme des chiffres des multiples de 9 sont des multiples de 9.

Bilan

Somme des chiffres d'une puissance de N égale à N: il en existe une en quantité infinie, mais les cas sont limités pour chaque puissance: 6 cas pour les carrés et les cubes.

La somme des chiffres des nombres portés à une puissance reste confinée dans un petit nombre de possibilités de 1 à M. Par exemple pour les nombres jusqu'à 1 million, la valeur du maximum M est, selon la puissance (indiquée en indice):

97₂ 136₃ 163₄ 207₅ 234₆ 279₇ …

Mais, tous les nombres de 1 à M ne sont pas atteints par une telle somme. Pour les carrés, seules 43 valeurs sur M = 97 correspondent à une telle somme.

La somme des chiffres d'un multiple de 3 porté à une puissance quelconque est divisible par 9 (effet de la preuve par neuf).

Suite	Somme des chiffres des nombres en couple Partition des nombres en somme de puissance
Voir	Addition Allumettes et nombres Bases de numération Chiffres à barre – Comparaison Chiffres en lettres Nombres à barres en lettres Nombres en toutes lettres Numération - historique Pannumérique Produit repdigit Unité des puissances
DicoNombre	Nombre 9 Nombre 12 Nombre 97
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