NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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>>>  Les chiffres de la somme sont dans le produit

>>>  Produit = k fois somme des chiffres
>>>  Nombres et les chiffres de leurs puissances

>>>  Puissance des chiffres de nombres en couple

>>>  Somme des chiffres d'un nombre à une puissance

  

 

Sommaire de cette page

>>> Cas d'égalité

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Bicarrés

>>> Puissances 5

>>> Puissances d'un même nombre

>>> Bilan

 

 

 

 

Nombres portés à une puissance.

Somme de leurs chiffres. 

 

Deux types de questions concernant la somme S des chiffres d'un nombre N porté à une  puissance k:

 

1) S = N               

Exemple: 83 = 512 & 5+1+2 = 8

 

2) Quelles sont les valeurs successives de S. Ou, autrement dit: quels sont les nombres qui sont somme des chiffres de l'une de leur puissance?

 

Exemples: Avec les carrés: 1, 4, 7, 9, 13 …

                 Avec les cubes: 1, 8, 9, 10, 18 …

 

 

 

1) Égalités

 

Cas d'égalité

 

*    Nombre Égal à la Somme des Chiffres d'une de ses Puissances (NESCHIP).

 

*    Alors, il n'existe qu'un seul cas pour les carrés et cinq cas pour les cubes. Le cas trivial du 1 est éliminé (13 =1 & 1 = 1).

 

 

*    Voici les 33 cas pour les puissances de 4 à 10:

Voir Les cousins / Somme de cubes / Carrés doublement carré / Cas de 27

 

 

 

2) Valeurs successives de la somme selon la puissance

 

CARRÉS

 

*      Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'un carré jusqu'à un million.

 

Exemple

2 236² = 4 999 696

4+9+9+9+6+9+6 = 52

 

 

Note: une fois une somme trouvée, elle n'est pas répétée pour des nombres plus grand. Exemple: 5² = 25 & 2 + 5 = 7 qui est déjà dans le tableau avec 4² = 16 & 1 + 6 = 7.

 

 

CUBES

 

*      Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'un cube jusqu'à un million.

 

Exemple

133 = 2 197 et 2+1+9+7 = 19 

 

Voir Égalité de cubes en couples – Tableau des nombres donnant la somme 18

 

 

BICARRÉS (Puissance 4)

 

*      Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'une puissance quatrième jusqu'à un million.

 

Exemple

44 = 256 et 2+5+6 = 13

 

 

 

Puissance 5

 

*      Tableau donnant la liste de tous les nombres somme des chiffres d'une puissance cinquième jusqu'à un million.

 

Exemple

85 = 32 768

et 3+2+7+6+8 = 26 

 

 

Toujours pour un million:

*        Avec la puissance 6 le maximum est 234.

*        Avec la puissance 7 le maximum est 279.

 

 

 

 

Puissances du même nombre

 

*      Voici le tableau des puissances de 12 avec la somme de leurs chiffres.

*      Ces sommes sont toutes des multiples de 9 à partir du carré.

 

*      Voici le tableau des sommes pour tous les nombres de 2 à 15 (en colonnes) et pour les puissances de 1 à 15 (en lignes). On retrouve en colonne du 12 les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessus.

 

*      Les colonnes pour les multiples de 3 sont toutes en multiples de 9, à partir du carré.
Explication: dès que l'on multiplie 3 x 3, on obtient un 9. Dans les produits suivants (comme 3 x 3 x 3), il y a un 9 "inside". Or, la somme des chiffres des multiples de 9 sont des multiples de 9.

 

 

 

Bilan

*    Somme des chiffres d'une puissance de N égale à N: il en existe une en quantité infinie, mais les cas sont limités pour chaque puissance: 6 cas pour les carrés et les cubes.

*    La somme des chiffres des nombres portés à une puissance reste confinée dans  un petit nombre de possibilités de 1 à M. Par exemple pour les nombres jusqu'à 1 million, la valeur du maximum M est, selon la puissance (indiquée en indice):

972  1363  1634  2075  2346  2797   

Mais, tous les nombres de 1 à M ne sont pas atteints par une telle somme. Pour les carrés, seules 43 valeurs sur M = 97 correspondent à une telle somme.

*    La somme des chiffres d'un multiple de 3 porté à une puissance quelconque est divisible par 9 (effet de la preuve par neuf).
 

 

 

 

 

Suite

*    Somme des chiffres des nombres en couple

*    Sommes des chiffres pour 666

*    Partition des nombres en somme de puissance

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*    Addition

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