NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 46

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

900.            Cordes égales

 

Problème

Deux cercles sécants en D.

Construire une sécante en D découpant deux cordes de même longueur.

 

Construction

Milieu B de AC, segment joignant les deux centres.

Demi-droite BD.

Perpendiculaire en D à BD.

Intersections E et F.

ED = DF.

 

Explications

Les trois parallèles AG, BD et CH découpent sur GH la même proportion 1/2 que sur AC.

GD = DH

Toutes les parallèles sont perpendiculaires à EF.

Les cordes ED et DF sont coupées en leur milieu.

GD = DH  = > ED = DF.

 

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901.            Aire inter-segments

Question

Quelle est l'aire de la zone jaune appartenant au cercle central occulté par ces deux cercles verts, tangents et de même rayon unité ?

 

Solution, la piste

L'aire cherchée correspond à celle du cercle rouge dont on retire quatre fois l'aire des segments S (rose).

 

Or le secteur S + T, avec un angle de 120°, représente un tiers de l'aire du disque.

En retirant l'aire  de T, deux fois le triangle rectangle, on calcule l'aire de S.

Tous calculs faits:

    

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902.            Carrés avec allumettes

Défis

Déplacer quatre allumettes à gauche pour former trois carrés.

Solution à droite avec points rouges pour les allumettes déplacées.

 

 

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903.            Dissection du pentagone

Énigme

 

Découpez le pentagone régulier en quatre triangles isocèles, et

Formez un trapèze isocèle.

 

Solution

 

Les triangles isocèles ne sont pas tous les quatre de la même taille.

 

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>>> Pentagone et trapèze isocèle

>>> Trapèze

 

 

904.            Carré magique avec dominos

 

Carré magique avec 18 dominos.
Lignes, colonnes et diagonales principales ont la même somme 13.

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905.            Araignée sur une boite

 

Énigme

Une boite fermée est posée sur le sol.

Une araignée en A détecte un bon repas en B.

Comment y aller par le plus court chemin ?

 

Solution

Le chemin le plus court consiste à parcourir deux des faces en oblique (illustration en bas):

 

L² = 20² + (15 + 10)²  = 400 + 625 = 1025

L = 32,015… cm

 

Point de bifurcation
Avec le théorème de Thalès:

 

Attention: ce n'est pas 10/15 de 20 !

 

Pour information

Le trajet le long des arêtes aurait donné: 45 cm

Celui en pure diagonale:

D² = 20² + 15² + 10² = 400 + 225 + 100 = 725

D = 26,92… cm

   

 

Araignée voulant aller de A à B

 

Trajet le plus court pour l'araignée

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906.            Cinq carrés pour un carré

 

Énigme

On dispose de cinq carrés. Comment les assembler pour former un seul grand carré ?

Vous n'avez droit qu'à un seul coup de cutter en ligne droite.

 

Solution

Empiler quatre carrés et les couper selon le trait rouge qui rejoint un sommet au milieu du côté opposé.

 

 

Assembler le carré restant et les huit morceaux découpés selon la figure du bas.

Cinq carrés

Le grand carré à partir des cinq petits

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907.            Chiffre deviné

 

Tour de magie

Pense à un nombre de quatre chiffres.

Soustrait chacun des chiffres.

Barre un chiffre de ce résultat et donne-moi les trois autres.

Je peux te dire quel est le chiffre que tu as barré.

 

Explications

Un nombre auquel on a retiré ses chiffres est divisible par 9 et, dans un nombre divisible par 9, la somme des chiffres est un multiple e 9.

Il suffit de trouver le chiffre à ajouter pour restituer un multiple de 9.

 

 

Exemple

Un nombre: 1289

Sans ses chiffres: 1289 – (1+2+8+9) = 1269

On barre le 6 et on annonce: 1, 2, 9

Le nombre manquant est 6, car 1 + 2 + 9 = 12 et 1 + 2 = 3; le complément à 9 est 6.

 

Exemple si le 9 avait été barré

On donne alors: 1, 2, 6 = > somme 9

Complément à 9: c'est le 0 ou le 9 qui a été barré. Il y a ambiguïté.

 

Exemple délicat

Un nombre: 4567 => 4545

On barre 4 et on donne: 4, 5, 5 => 15 => 4

Complément à 9: c'est un 4 qui a été barré.

  

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>>> Preuve par 9

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908.            Céviennes et binôme

 

Céviennes régulières

Les céviennes régulières sont issues du même sommet et découpent des segments égaux sur le côté opposé au sommet.

 

Binôme de Newton

La figure donne un exemple avec  k = cinq segments issus du sommet supérieur.

La relation indiquée, du type de celle des identités de Newton, donne un résultat nul.

Cela est vrai pour n'importe quelle valeur de k supérieure à 2.

 

Cas de trois céviennes régulières

 

 

Les coefficients sont ceux du binôme de Newton.

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909.            Parallélogramme et cousin

 

Cousin du parallélogramme

Cette idée provient de la question:

Si un quadrilatère à deux de ses angles opposés égaux et deux de ses côtés de même longueur, est-il forcément un parallélogramme ?

La réponse est non: il y a deux quadrilatères qui répondent à cette spécification.

 

Construction

Un parallélogramme ABCD.

Cercle passant par les points B, C et D.

Angle NDC reporté pour former NDE.

Interceptant le même arc BD, l'angle en E est égal à celui en C.

Le segment DE est de même longueur que le segment DC, du fait que DN est la bissectrice et qu'elle offre une symétrie.

Le quadrilatère ABED répond aussi aux spécifications. Il est le cousin du parallélogramme.

   

Deux quadrilatères cousins

Quadrilatères ABCD et ABED: mêmes angles opposés et même longueur des côtés opposés

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>>> Parallélogramme

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910.            Rectangle trigonométrique

 

Quatre triangles en un rectangle

Un rectangle qui encapsule quelques propriétés fondamentales de la trigonométrie à partir de calculs avec le simple théorème de Pythagore.

 

Exemple

Avec le triangle rectangle isocèle (45°) de côté unité, on a:

 

    

 

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911.            Quatrième parcelle

 

Énigme

On donne un quadrilatère dont trois surfaces sont connues (en cm²) comme indiqué.

Les points E, F, G et H sont les milieux des côtés (EG et DF sont les médianes).

Trouvez la valeur de l'aire du quatrième quadrilatère (S2).

 

Solution

S1 + S3 = S2 + S4

128 + 140 = x + 95

x = 268 – 95 = 173 cm²

et S = 268 x 2 = 536 cm²

 

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912.            Apothème du pentagone

L'apothème p est le rayon du cercle inscrit au pentagone de côté c.

 

Si S est l'aire du pentagone, c'est aussi l'aire des cinq triangles du type OAB dont l'aire vaut: ½  p·c

 

On en déduit la longueur de l'apothème:

 

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913.            Pentagone et trois triangles

 

Problème

On connait l'aire des trois triangles A, B et C.

Donner l'aire S du pentagone régulier.

 

Solution

La solution passe par la connaissance et la démonstration de cette formule impliquant le nombre d'or (phi):

 

 

Vérification avec la formule de l'aire du pentagone

 

  

 

Exemple de situation numérique

A, B et C sont connus; il faut trouver S.

 

Il est possible de calculer l'aire du pentagone régulier par la seule connaissance des aires des triangles A, B et C.

   

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914.            Carré et deux cercles

 

Problème

Un carré unité (c = 1) et une "semi-diagonale" joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Les cercles inscrits dans les deux régions du carré.

Quel est le rapport entre les rayons r et R de ces cercles?

 

Solution – Indices

Le principe consiste à montrer que les rayons R et r tels que sur la figure font partie de triangles rectangles semblables au grand triangle rectangle de la figure.

Puis, à considérer le rectangle ayant les deux centres comme sommets opposés.

  

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915.            Roméo et Juliette

 

Problème

Roméo doit apporter une cruche d'eau fraiche à Juliette.

Quel est le plus court chemin ?

 

Solution

Si Roméo était de l'autre côté de la rivière, en position symétrique, le plus court chemin serait la ligne droite.

Avec Roméo du même côté que Juliette, le trajet le plus court est le même, sauf que la partie de l'autre côté de la rivière doit être pris dans sa position miroir (symétrique).

       

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916.            Les trois chiens

 

Problème

Les chiens font l'objet des pesées indiquées.

Quel est le poids des trois chiens objet de la quatrième pesée ?

 

Solution

Une solution avec des équations est possible. Mais, il existe une solution beaucoup plus simple.

En effet, si l'on ajoute les résultats des trois pesées, on obtient: 30 + 40 + 50 = 120 kg.

Or, cela correspond à deux fois les trois chiens.

 

Le poids des trois chiens est donc:
120 / 2 = 60 kg.

On en déduit facilement le poids de chacun en calculant le poids du manquant à chaque pesée: 10, 20 et 30kg.

        

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917.            Aiguille de Kakeya

Disque

Une aiguille de longueur unité.
Mathématiquement un segment (épaisseur nulle).

Elle doit faire un tour complet dans le plan.

Si on fait pivoter l'aiguille autour de son centre, la surface balayée est un disque.

Est-ce que l'aire balayée est la plus petite ? NON !

 

Deltoïde

La deltoïde est la trajectoire d'un point d'un cercle lorsque celui-ci roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle trois fois plus grand.

L'aiguille tourne avec ses deux extrémités parcourant deux arcs tandis qu'elle reste tangente au troisième arc.

La réduction de la surface balayée est importante, mais il existe mieux … L'aire balayée peut être rendue aussi petite que l'on veut.

 

 

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918.            Puissance des nombres successifs

 

Triangulaires

Un nombre triangulaire d'ordre n est la somme de tous les nombres jusqu'à n.

Un hypertriangulaire est calculé de la même manière mais en élevant chaque nombre à sa puissance.

 

Factorielles

Un nombre factoriel d'ordre n est le produit de tous les nombres jusqu'à n.

Un hyperfactoriel est calculé de la même manière mais en élevant chaque nombre à sa puissance.

 

 

Quatre types de nombres

Somme ou produit des nombres successifs

avec ou non leur puissance

  

Curiosité

L'hyperfactorielle 5 est le nombre de millisecondes en un jour. H5! = 11 × 22 × 33 × 44 × 55
                = 24 × 60 × 60 × 1000 = 
86 400 000

 

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919.            Spirales du pentagone

Pentagones gigognes

Une suite de pentagones de plus en plus petits, chacun formé sur le précédent.

 

Spirales

On forme une spirale interne (bleue) et une spirale externe (rose).

La première commence par une diagonale et la seconde par un côté prolongé. Leur longueur commune est égale au nombre d'or.

 

Longueur

La longueur de chaque branche est égale aux puissances successives de l'inverse du nombre d'or.

La longueur  de ces deux spirales  tend vers deux fois le nombre d'or augmenté de l'unité.

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