NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CONSTANTES

 

Débutants

Nombres

RACINE de 2

√2 = 1, 41 42 …

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Général 

 

Introduction

Valeur

Propriétés

Géométrie

Historique

Calcul

Irrationnel

Doubler

 

Sommaire de cette page

>>> Carré

>>> Carré double

>>> Cercle

>>> Construction des racines

>>> Construction 2

 

 

 

 

 

 

Géométrie et racine de 2

 

 

 

 

CARRÉ

 

Diagonale du carré de côté unité

 

Théorème de Pythagore:

  = 1² + 1² = 2 et D = 2

 

Et, d'une manière générale: D = a . 2

Avec a la mesure du côté du carré

Le carré est découpé par sa diagonale

en deux triangles rectangles isocèles

 

Côté du carré d'aire égale à 2

 

A = 2 = a²

a = 2

 

 

CARRÉ DOUBLE

Carré double

 

*  Le carré rouge comporte 4 triangles

*  Le carré bleu en compte 2 de même taille

*  Le grand a une aire double de celle du petit

 

Longueur du côté du grand carré, diagonale du petit

 

*  Aire grand carré = 2 fois aire du petit

  x . x = 2 x (1x1)

     x² = 2

     x = 2

2 diagonale

du carré de côté 1

 

Mieux!

 

*  Pythagore va plus vite

          

             x² = 1² + 1² = 2

 

Notez que

Doubler le côté du petit carré multiplierait son aire par 4 et non par 2.

Prendre une moyenne (1+2)/2 ne convient pas non plus.

Seule la valeur 2, non évidente a priori, fait l'affaire :

 

Suite

*      Dialogue sur la vertu de Platon et le doublement de l'aire du carré

Voir

*      Doubler l'aire du carré

*      Doubler le volume du cube

 

 

CERCLE

Dans le cercle de rayon 1
Soit le point M situé sur un rayon à 45°:

 

 

Les coordonnées de M sont:

x = 2 / 2

y = 2 / 2

 

Ce sont les valeurs de:

sin  45° = 2 / 2

cos 45° = 2 / 2

 

 

 

 

CONSTRUCTION des racines d'un nombre

 

 

*    Carré de côté unité.

*    La diagonale est rabattue sur le côté horizontal.

Mesure D² = 1² + 1² => D = 2

 

 

 

 

*    On élève la perpendiculaire, donnant naissance à un rectangle de côtés 1 et 2

*    La diagonale est rabattue sur le côté horizontal

Mesure D² = 1² + (2)² => D = 3

 

 

 

 

*    Etc.

Mesure D² = 1² + (3)² => D = 4

 

 

*    Pour racine de 5, la construction est particulièrement simple. Base du rectangle d'or.

 

 

   

*    Sur le même principe, on peut aussi construire une spirale dite rectangulaire.

 

 

Voir  Construction géométrique des nombres / Autre construction / Construction de a², 1/a

 

  

 

CONSTRUCTION de 2

 

Construction RÈGLE ET COMPAS

*  Segment de départ OA dont la mesure est 1.

*  Prolonger à gauche dans la direction A'.

*  Cercle de centre O et de rayon 0A.

Il permet de marquer le point A'.

*  Perpendiculaire à AA' en O (médiatrice);

cercle de centre A d'ouverture r' quelconque;

cercle de centre A' de même ouverture r';

Se coupe en O'.

*  La médiatrice coupe le cercle en M.
AM mesure
2.

 

Démonstration

*  Évidente.

*  Diagonale du carré de côté 1.

 

 

 

Construction COMPAS SEUL

*  Segment de départ OA dont la mesure est 1.

*  Construction de la rosace classique (une demie suffit).

Cercle de rayon OA.

Report de ce rayon à partir de A pour créer B, puis B' et enfin A'.

*  Construction de la médiatrice.

Cercle centre A rayon AB'.

Cercle centre A' rayon A'B = AB'.

Le segment OM mesure 2.

 

Démonstration

*  Triangle A A' B'

Rectangle en B, car inscrit dans un demi-cercle

AB'² + A'B'² = AA'²

AB'² = (2R - R² = 3R² = 3

*  Par construction: AM = AB' = √3

*  Triangle OAM: OM² = AM² – OA²

*  OM² = 3 – 1² = 2

 

 

Figure particulière donnant  la racine

des trois premiers nombres 1,  2 et 3

 

Voir  Construction

 

 

 

 

 

Suite

*   Racine de 2 – Historique

*    Doubler l'aire du carré

*    Construction géométrique des nombres

Retour

*       Racine

*       Racine carrée

*       Développement de Taylor

Voir

*       Imaginaires

*       Constantes

*       Pi

*       Nombre d'Or

Diconombre

*       Nombre 2

*       Racine de 2

Livre

*       Le Fabuleux destin de racine carrée de 2 – Benoît Rittaud – 2006

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Geom.htm