Racine de deux, en géométrie

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/11/2017 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	CONSTANTES
Débutants Nombres	RACINE de 2 √2 = 1, 41 42 …			Glossaire Nombres
INDEX Puissance Décomposition Général	Introduction	Valeur	Propriétés	Géométrie
	Historique	Calcul	Irrationnel	Doubler
		Sommaire de cette page >>> Carré >>> Carré double >>> Avec le triangle rectangle >>> Cercle >>> Construction des racines >>> Construction 2

Géométrie et racine de 2

CARRÉ
Diagonale du carré de côté unité Théorème de Pythagore: D² = 1² + 1² = 2 et D = √2 Et, d'une manière générale: D = a . √2 Avec a la mesure du côté du carré	Le carré est découpé par sa diagonale en deux triangles rectangles isocèles
Côté du carré d'aire égale à 2 A = 2 = a² a = √2

CARRÉ DOUBLE

Carré double

Le carré rouge comporte 4 triangles

Le carré bleu en compte 2 de même taille

Le grand a une aire double de celle du petit

Longueur du côté du grand carré, diagonale du petit

Aire grand carré = 2 fois aire du petit

x . x = 2 x (1x1)

x² = 2

x = 2

2 diagonale

du carré de côté 1

Mieux!

Pythagore va plus vite

x² = 1² + 1² = 2

Notez que

Doubler le côté du petit carré multiplierait son aire par 4 et non par 2.

Prendre une moyenne (1+2)/2 ne convient pas non plus.

Seule la valeur 2, non évidente a priori, fait l'affaire :

Suite

Voir

Avec le triangle rectangle

Deux méthodes possibles avec un triangle rectangle:

Avec le théorème de Pythagore, on a par exemple h² = 2² et l’hypoténuse vaut :

Avec le théorème sur la hauteur : b = 3 et la hauteur vaut .

CERCLE

Dans le cercle de rayon 1
Soit le point M situé sur un rayon à 45°:

Les coordonnées de M sont:

x = 2 / 2

y = 2 / 2

Ce sont les valeurs de:

sin 45° = 2 / 2

cos 45° = 2 / 2

CONSTRUCTION des racines d'un nombre
Carré de côté unité. La diagonale est rabattue sur le côté horizontal. Mesure D² = 1² + 1² => D = 2 On élève la perpendiculaire, donnant naissance à un rectangle de côtés 1 et 2 La diagonale est rabattue sur le côté horizontal Mesure D² = 1² + (2)² => D = 3 Etc. Mesure D² = 1² + (3)² => D = 4 Pour racine de 5, la construction est particulièrement simple. Base du rectangle d'or.
Sur le même principe, on peut aussi construire une spirale dite rectangulaire.

CONSTRUCTION de √2
Construction RÈGLE ET COMPAS Segment de départ OA dont la mesure est 1. Prolonger à gauche dans la direction A'. Cercle de centre O et de rayon 0A. Il permet de marquer le point A'. Perpendiculaire à AA' en O (médiatrice); cercle de centre A d'ouverture r' quelconque; cercle de centre A' de même ouverture r'; Se coupe en O'. La médiatrice coupe le cercle en M. AM mesure 2. Démonstration Évidente. Diagonale du carré de côté 1.
Construction COMPAS SEUL Segment de départ OA dont la mesure est 1. Construction de la rosace classique (une demie suffit). Cercle de rayon OA. Report de ce rayon à partir de A pour créer B, puis B' et enfin A'. Construction de la médiatrice. Cercle centre A rayon AB'. Cercle centre A' rayon A'B = AB'. Le segment OM mesure 2. Démonstration Triangle A A' B' Rectangle en B, car inscrit dans un demi-cercle AB'² + A'B'² = AA'² AB'² = (2R)² - R² = 3R² = 3 Par construction: AM = AB' = √3 Triangle OAM: OM² = AM² – OA² OM² = 3 – 1² = 2	Figure particulière donnant la racine des trois premiers nombres 1, 2 et 3

Suite	Racine de 2 – Historique Doubler l'aire du carré Construction géométrique des nombres
Retour	Racine Racine carrée Développement de Taylor
Voir	Imaginaires Constantes Pi Nombre d'Or
Diconombre	Nombre 2 Racine de 2
Livre	Le Fabuleux destin de racine carrée de 2 – Benoît Rittaud – 2006
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Rac2Geom.htm