NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CARRÉS & NON - CARRÉS

 

Comment caractériser un nombre qui est un carré parfait ou non?

But: disposer d'une représentation utile pour effectuer des démonstrations.

 

 

 

 

Carrés

On peut utiliser la définition du carré:

Le carré d'un nombre est égal au produit du nombre par lui-même.

Cette définition est valable que le nombre soit un nombre premier ou un nombre composé.

n = a . a = a2

S'il est composé, le nombre peut s'écrire sous la forme de ses facteurs premiers

a = p1E1 . p2E2 . ... pmEm

Et c'est toute cette expression qui est au carré

Autrement dit, on peut aussi écrire:

n = a2 = (p1E1 . p2E2 . ... pmEm) 2

n = a2 =  p12xE1 . p22xE2 . ... pm2xEm

 

Prenant sa décomposition en facteurs premiers, un carré est un nombre dont

tous les exposants sont pairs.

 

n = a2 =  p12xE1 . p22xE2 . ... pm2xEm

 

 

 

 

NON-Carrés

Comment représenter un nombre qui n'est pas un carré? 

À partir de la conclusion ci-dessus, la conclusion est pratiquement évidente

 

Prenant sa décomposition en facteurs premiers, pour qu'un nombre soit non-carré il suffit que l'un des exposants soit impair.

On se souvient qu'un nombre impair est représenté par 2k + 1.

 

n =  p12xE1  .  p22xE2 .   ...   .

pi2xEi + 1 .   ...   . pm2xEm

 

On peut aussi écrire, en isolant le facteur particulier. B étant le produit de tous les autres facteurs premiers.

On note que, bien sûr, pi étant premier différent des autres, il ne peut pas diviser B.

 

n =  pi2xEi+1 . B          avec    pi  B

Exemples

 

 

 

Note: Le symbole "ne divise pas" est une barre verticale barrée;

 

Cette représentation sert dans la démonstration de l'irrationalité de .

Voir Racine de 2 est irrationnel

 

 

 

 

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