NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 17/06/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

NOMBRES

 

Débutants

Pairs et impairs

Caractérisation

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Nombres

 

Th. Fondamental

Premiers

p-adiques

Pair-impair

Carrés

Cubes

Bicarrés

 

Sommaire de cette page

>>> Propriété

>>> Forme

>>> Table

>>> Équations

>>> Loi de Stefan

 

 

 

 

 

 

Caractérisation des

NOMBRES BICARRÉS

 

Propriétés des nombres en puissance de 4.

 

Anglais: Biquadratic numbers or tesseractic numbers

 

 

Propriété

 

*      La puissance quatrième d'un nombre est aussi appelé son bicarré.

 

*      Avant tout, une puissance 4 est le carré d'un carré:

 

 

                Notez la particularité du 2 (en bleu), avec 3 et plus ça ne marche pas!

Voir Puissances à étages

 

 

*      Les unités des puissances quatrième se limitent à: 0, 1, 5 et 6.

 

*      Les deux derniers chiffres (dizaines et unités) sont: 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81 et 96.

 

*      Le seul nombre premier de la forme 4x4 + y4 est 5.

 

*      Tout nombre est décomposable en somme d'au plus 19 bicarrés. >>>

 

 

 

 

 

Forme

 

 

La puissance quatrième d'un nombre N

           - pair    est de la forme 16n

           - impair est de la forme 16n + 1  avec n

 


 
Démonstration

N est pair

N

= 2k

Sa puissance quatrième

N4

= 16k4 = 16n

N est impair

N

= 2k + 1       avec k

Sa puissance quatrième

N4

= (2k + 1)4

Développement

 

= 16k4 + 32k3 + 24k2 +8k + 1

Mise en facteur partielle

 

Est-ce que la fraction est entière ?

 

Si k = 2h

 

Si k = 2h + 1

 

 

 

 

alors k est divisible par 2.

 

alors 3k + 1  est pair et divisible par 2.

 

Dans les deux cas, le numérateur est divisible par 2 et la fraction est entière.

 

Bilan

N4

= 16n + 1 

 

 

Table

 

Table des puissances quatrième des nombres de 1 à 20.

La troisième colonne montre la forme en 16n + 1  pour les nombres impairs et la quatrième colonne montre la forme en 16 n pour les nombres pairs.



Voir TablesIndex

 

 

 

Équations

 

Impossibles

Les équations diophantiennes suivantes n'ont pas de solutions:

 

x4 + y4 = z4

x4 + y4 = z2  et x4 – y4 = z2  >>>

x4 – y4 = 2z2 

 

Possibles

Euler pensait que l'équation: x4 + y4 + z4 = t4 n'avait pas de solution. Or depuis, des contre-exemples ont été trouvés.

 

Les équations suivantes possèdent également de multiples solutions:

 

x4 + y4 + z4 = 2t4

x4 + y4 + z4 + t4 = u4

x4 + y4 + z4 + t4 + u4 = v4

Ex: 24 + 24 + 34 + 44 + 44 = 54 = 16 + 16 + 81 + 256 + 256 = 625

 

x4 + y4 + z4 + t4 + u4 + v4 = w4

Ex: 24 + 44 + 64 + 64 + 64 + 74 = 94 = 16 + 256 + 3x1296 + 2401 = 6 561

 

x4 + y4 = z4 + t4

x4 + y4 + z4 = t4 + u4

Ex: 54 + 54 + 64 + 84 = 34 + 94 = 625 + 625 + 1296 + 4096 = 81 + 6561 = 6642

 

Exemples de nombres

Il existe une infinité de solutions à: x4 + y4 + z4 + t4 = (x + y + z + t)4

 

Voir Suite et autres exemples / Notations de ce genre d'identités

 

 

Loi de Stefan-Boltmann

 

La puissance rayonnée par un corps chauffé croît comme la puissance quatrième de sa température absolue.

La puissance rayonnée d'une étoile est proportionnelle au carré du rayon de l'étoile et à la puissance quatrième de sa température de surface.

La luminosité d'une étoile s'exprime par L = 4 R²T4, avec sigma la constante de Stefan-Boltzmann

Découverte en 1879 par Joseph Stefan (1835-1897) et démontrée en 1884 par Ludwig Boltzmann (1844-1906).

 

Exemple

Une surface porte à 600°C rayonne 62% d'énergie de plus que celle portée à 500°C

Calcul

 

 

 

 

 

 

Suite

*        Nombres carrés

*         Nombres p-adiques

*         Bicarrés – Diviseurs

*         Bicarrés – Somme

*         Équation du quatrième degré

Voir

*         Barre magique des premiers

*         Divisibilité

*         Initiation à la théorie des nombres

*         Nombres et leurs diviseurs

*         Nombres géométriques

*         Nombres premiers

*         Orientation générale

*         TablesIndex

*         Théorie des nombres

DicoNombre

*         Nombre 4

Site

*         Diophantine Equation--4th PowersMathworld – Eric Weisstein

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/NombrCar/Bicarre.htm