NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Retour nombre 163

 

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Nombre 144

Nombre 163

Nombre 1000

Nombres presque entiers

 

Sommaire de cette page

>>> Presque-entiers avec des logarithmes

>>> Avec exponentielles (Ramanujan)

>>> Presque-entiers (exponentielles)

>>> Nombres de Heegner

>>> Calcul de ces nombres

>>> Historique

 

 

 

 

NOMBRE 163 et les presque-entiers

Constante dite de Ramanujan

 

Certains nombres présentent la particularité de s'approcher très près d'un nombre entier; ce sont les nombres presque entiers. Sur cette page nous développons ceux qui sont de la famille de 163. Ce sont des nombres qui apparaissent en utilisant les fonctions modulaires.

On trouve ce nombre aussi sous la forme: e^pv163 (p pour pi et v pour racine)

 

À leur sujet, plusieurs questions se posent:

*      Existe-t-il une logique qui explique cette proximité? La théorie des nombres sait-elle expliquer ces propriétés?

*      Comment les a-t-on découverts? Justement du fait d'une propriété, ou par exploration, ou par pur hasard?

*      Quel est le procédé de calcul utilisé, du moins, du temps où les ordinateurs n'existaient pas?

 

 

Presque-entiers avec leur logarithme

 

 

*  Le nombre 163 / ln 163 est pratiquement un nombre entier.
Voici les suivants encore plus proches d'un entier. Exploration jusqu'à un million.

 

ln est le logarithme naturel ou népérien

 

Voir Presque-entiers en sommes

 

 

 

Nombres presque-entiers de Ramanujan

 

Constante de Ramanujan un nombre transcendant

 

Anglais:

Ramanujan's constant

 

Note: Il existe d'autres constantes qui portent son nom.

 

= 0,262… 1018

= 262 537 412 640 768 743, 999 999 999 999 2500

                                         725971981856888793538563373...

 

=  

Voir  Exponentielle puissance Pi

= e 40,109 169 991…

= 2,718281828… 40,109 169 991…

 

= 640 3203 + 743 + 0,999 999 999 999 2500…

= 123  (23121 )3 + 743 +  ….

= 218 . 33 . 53 . 233 . 293 + 743 + ….

 

N -

= 0,7499274… 10-12 

             Distance à l'entier le plus proche.

Approximation avec 19 chiffres significatifs: partie entière et une décimale.

 

 

Pour information:

Racine de l'équation: 5,31862821775018565910…

 

Puissances (k) et décroissance de la persistance des presque-entiers

Presque entier, surprenant!

 

Car e comme Pi sont des nombres transcendants. Leurs chiffres ne se répètent jamais, ne présentent pas de motifs particuliers; il sont aléatoires. Pourtant, le fait que ce nombre soit proche d'un entier n'est pas fortuit. Il est lui-même transcendant.

 

Piste?

 

163 = – (1 – 4 x 41)

Et on trouve 41 dans la célébres suite de nombres premiers donnée par Euler: x² – x + 41 >>>

Effectivement les nombres de Heegner intervinnent dans la caractérisation des nombres premiers.

 

 

 

 

Presque des entiers!

Sur le modèle de Ramanujan

 

Exploration de N  =      jusqu'à n = 1000

Présentation avec 50 chiffres

 

Relations particulières avec des cubes

 

*    Il est remarquable de trouver ces valeurs entières à mieux que 1/1000è près.
Coïncidence? Non! Hermite puis Heegner donnent des explications. Elles mettent en jeu des principes avancés de la théorie des nombres: théorie modulaire (propriétés modulaires avec un polynôme de degré 48), les fonctions j de Jacobi ou un monstre mathématique tel que:

et, il est bien connu qu'en théorie des fonctions modulaires, la fonction j de tau est invariante dans le groupe des transformations unimodulaire … et …

est un nombre entier. Or -1/q est la constante de Ramanujan. Comme q est petit, 1/q est proche d'un entier. Cette formule permet également d'expliquer pourquoi les puissances sont de moins en moins proches d'un entier. Le groupe monstre n'est pas loin de toutes ces théories …

 

 

 

Avec le nombre d'or et le nombre d'argent

 

Nombre d'or 

 

Nombre d'argent

 

Voir Nombre d'or / Nombre d'argent

 

 

 

 

Bilan des recherches faites par Antony Canu

 

Ses plus grands

  

 

 

>>>

 

Voir La constante de Ramanujan est elle la plus proche d'un entier ? – Anthony Canu

 

 

 

 

Nombres de Heegner

–1, –2, –3, –7, –11,

–19, –43, –67, et  163

*      Nombres de Heegner, 163 étant le plus grand.
dits: discriminants de la classe 1 des champs de nombres quadratique imaginaires.

*      Les non-discriminants de la classe 1: -12, -16, -27, -28.

 

Nombres de Heegner – Théorie avancée des nombres

*  Les nombres de Heegner sont neuf seulement.

*  Ils correspondent aux discriminants: -4, -8, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 (prouvé).

*  Ils ont une grande importante dans la théorie des nombres, nombres premiers notamment.

*  Leur détermination fait partie des problèmes des nombres de Gauss.

*  Ils correspondent à une factorisation unique de l'anneau des entiers.

 

Définition

Nombre de Heegner: entier sans facteur carré n positif tel que l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire  est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car l'anneau est de Dedekind). Le théorème de Stark-Heegner indique qu'il y a exactement neuf nombres de Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.

 

Voir sites  Heegner number de Mathworld  / Heegner Number de Wikipedia

 

Approximation pour les quatre plus grands nombres de Heegner

Autres curiosités

 

Approximation de Pi

avec 30 à 75 chiffres

 

 

En prenant E = 0, Pi est donné avec 30 décimales.

En tenant compte de l'écart E (connu), il est possible de poursuivre les calculs et d'obtenir une approximation de Pi avec 75 décimales:

 

 

 

Calcul

 

Il est probable que la détection des nombres en exposant, tel que 163, résulte de réflexions sur les fonctions modulaires, elles-mêmes suscitées par la résolution de certaines équations du cinquième degré (voir Hermite).

 

Cependant, les premiers mathématiciens à les avoir découverts donne leur valeur précise. En 1859, Hermite cite la valeur du nombre en racine de 43 et précise que celui en racine de 169 possède douze 9.

Quels sont leurs méthodes de calcul?

Aujourd'hui

Les logiciels de calcul donnent la précision que vous voulez. Les calculs présentés sur cette page ont été réalisés avec Maple.

La calculatrice de votre ordinateur devrait également faire l'affaire.

Hier, sans les calculateurs?

 

Le calcul devait être très long avec risques d'erreurs et, surtout, comment choisir la quantité de décimales pour être sûr d'atteindre le résultat souhaité?

Ce tableau montre que:

*    en-dessous de 20 décimales, le nombre semble classique,

*    jusqu'à 35 décimales, on pourrait penser qu'il s'agit d'un nombre entier; et

*    c'est seulement à partir de 35 décimales que le nombre se dévoile comme un presque-entier.

 

Calcul de la racine

 

Il existe des méthodes pour calculer les racines: la méthode de Héron  ou la méthode que l'on apprenait autrefois et qui ressemble à une division posée.

 Voir le site Racine carrée à la main de Thérèse Eveilleau

 

Valeur de Pi

Dans les années 1800, la valeur de Pi est connue avec 200 décimales et plus.

Surprise le produit est proche de 40. Alors, existe—t-il une astuce pour en calculer facilement l'exponentielle?

Exponentielle

 

Feynman est connu pour son astuce de calcul des exponentielles (de tête!), mais pas possible pour de telle taille.

Passage par les logarithmes et les tables de logarithmes. La quantité de décimales ne dépassait pas 27 (à ma connaissance).

 

Bilan

Avant les ordinateurs, le calcul direct de  me semble problématique. Sans doute Hermite fut mis sur la piste par d'autres détours mathématiques. Quant à Ramanujan, sa vision géniale des nombres semble inexpliquée et inexplicable …

 

 

 

Historique

 

*    En 1748, Euler disait que, pour d >0 et non carré,  n'est pas un nombre rationnel. On se souvient de sa célèbre formule: .

*    En 2000, Hilbert montre qu'il n'est pas algébrique.

*    En 1929, Gelfond donne la série interpolant. En 1934, il démontre que ab est transcendant. On retrouve notre nombre avec  .

 

*    Charles Hermite (1822-1901), mathématicien français, est le premier à identifier ce genre de presque-premiers. Il calcule (1859) la valeur de ces exponentielles. Voici un extrait de son livre: "Sur la théorie des équations modulaires: et la résolution de l'équation du cinquième degré" – page 48.

 

*    Le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan (1888-1920) cite un certain nombre de nombres presque-entiers comme , mais pas celui en 163. Il travaillait sur les approximations de Pi à l'aide des fonctions modulaires et des discriminants des formes quadratiques.

 

*    En 1975, Martin Gardner publie un poisson d'avril dans le Scientific American. Il y prétend que   est un entier et Ramanujan l'a conjecturé. Ce nombre est vite devenu la constante de Ramanujan, même si Gardner a démenti quelques mois plus tard.

 

*    Aitken un mathématicien prodige remarqua que la différence entre ce nombre et un entier est inférieure à 10-12

En fait: écart = 0,75 10-12

 

 

*    Kurt  Heegner (1893-1965), mathématicien allemand, résout (1952) le problème du nombre de classes pour les corps quadratiques modulaires. Ses résultats seront admis et complétés par Harold Stark (1969) >>>

 

 

 

 

 

 

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Sites

*    Nombre presque entier – Wikipédia

*    RamanujanChronoMath

*    Almost integer Wikipedia

*    Ramanujan constant – Wolfram Mathworld

*    Ramanujan constant and its cousins – Titus Piezas III

*    OEIS A060295 – Decimal expansion of e^(Pi*sqrt(163)).

*    OEIS A102912 – Decimal expansion of a close approximation to the Ramanujan constant.

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Nb163.htm