NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 5 x 5

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Jeux

Carré 5 x 5

Construction

Diaboliques

Générique

Propriétés

Premiers

Pheru

Gigogne

Const. Symétries

 

Sommaire de cette page

>>> Carré magique 5 x 5

>>> Carré diabolique d'ordre 5

>>> Curiosités

>>> Calcul des sommes

 

 

 

 

 

Carré MAGIQUE d'ordre 5

 

Intéressant, car nombreux et vite diaboliques

Voir Mon premier carré magique d'ordre 5

 

 

 

Carré magique 5 x 5

 

*    Ce carré magique utilise tous les nombres de 1 à 25.
La somme magique est ½ n (n² + 1) = ½ 5 x 26 = 65.
Ce carré est simplement magique: les diagonales secondaires ne donnent pas toutes la somme magique.

*    C'est le carré d'ordre 5 le plus connu et sans doute le plus ancien

 

Construction

Observez la diagonale en bleu: tous les nombres de 11 à 15: toutes les pandiagonales sont de même facture à condition d'imaginer que le carré s'enroule sur lui-même.

Chaque fois qu'un multiple de 5 est atteint, alors le nombre suivant est placé en dessous.

 

*    Le deuxième carré est construit de la même manière avec le 1 du départ placé ailleurs.

 

17

24

1

8

15

65

23

5

7

14

16

65

4

6

13

20

22

65

10

12

19

21

3

65

11

18

25

2

9

65

65

65

65

65

65

65

65

Carré magique et associatif: la somme de deux nombres opposés équidistants du centre est constante: 17 + 9 = 24 + 2 = 5 + 21 = … = 2 x 13 (le nombre central)

 

16

23

5

7

14

65

22

4

6

13

20

65

3

10

12

19

21

65

9

11

18

25

2

65

15

17

24

1

8

65

65

65

65

65

65

65

65

Carré magique semblable au précédent, mais il n'est plus associatif.

 

 

 

L'harmonie du carré magique d'ordre 5

 

*       Ce dessin illustre une des méthodes de construction des carrés magiques dite siamoise ou de Loubère (un Français qui est allé au Siam, ancien nom de la Thaïlande).

*       Cette méthode consiste à progresser régulièrement d'un certain vecteur ici: (1,1) et à décrocher d'un autre vecteur ici: (0,-1)  lorsqu'il n'est plus possible de progresser régulièrement (cas d'un multiple de n). Elle est généralisable en définissant d'autres vecteurs.

*       Avec les vecteurs (2,1) et (1, -1), on retrouve la méthode classique du cavalier et, avec le 1 sur le milieu d'un bord, le carré est panmagique.

 

 

 

Ce carré magique est construit en respectant le mouvement du cavalier: 2 pas vers le haut et 1 pas vers la droite.

Décrochage d'un pas vers le bas pour tout multiple de 5.

Toutes les diagonales et pandiagonales somment aussi en 65.

 

Voir Explications détaillées

 

10

18

1

14

22

65

11

24

7

20

3

65

17

5

13

21

9

65

23

6

19

2

15

65

4

12

25

8

16

65

65

65

65

65

65

65

65

 

Carré magique, associatif et panmagique.

 

 

 

Avec des nombres presque quelconques

 

La suite de nombres indiquée dans le tableau du bas a été placée dans le tableau du haut selon la méthode de construction des carrés magiques dit de De la Loubère. Ça marche, même avec ces séries bizarres de nombres!

 

 

Carré magique avec suite de nombre particulière

 

 

 

 

CARRÉ DIABOLIQUE D'ORDRE 5

 

*    Ordre 5

*    Nombres de 1 à n²   = 25

*    Somme magique
S = n (n² + 1) / 2
   = 5 (25+1)/2 = 65

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

Ce carré est MAGIQUE,

Avec 12 fois la somme 65

*       5 rangées,

*       5 colonnes

*       2 diagonales

Il est aussi DIABOLIQUE

Avec 56 fois la somme 65

 

Sur toutes les pandiagonales:

*        4 + 4 fois

Sur des "carrés, croix et étoiles":

*       1+17+9+25+13: 2 fois,

*       1+15+23+7+19: 4 fois

*       7+16+4+13+25: 4 fois

*       23+7+20+4+11: 8 fois

*       15+23+7+16+4: 9 fois

*       1+24+7+20+13 : 9 fois

 

 

CURIOSITÉS

*    La somme des deux nombres extrêmes vaut 1 + 25 = 26

*    La case centrale vaut la moitié: 13.

*    Il est associatif de somme 26.

*    En éliminant la grande couronne, il reste encore associatif de somme 26 (7+19=26).

*    En comptant la case centrale, on trouve 13 fois (26/2) la somme 26.

Ce carré est

MAGIQUE,

SUPER-ASSOCIATIF

et PANDIAGONAL

 

Il est

Super-DIABOLIQUE

 

 

 

Calcul des sommes possibles (algébriques)

 

*    S = somme algébrique des + et –  et, aussi la somme des *

 

*    N = nombres de combinaisons.

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

+

 

*

 

+

+

+

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

*

 

+ *

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

*

 

+

S=

65

 

N=

9

 

S=

65

 

N=

9

 

S=

65

 

N=

2

 

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=

65

 

N=

16

 

S=

0

 

N=

16

 

S=

0

 

N=

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

+

 

 

 

 

 

 

 

+

+

+

 

 

 

 

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=

65

 

N=

16

 

S=

65

 

N=

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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