NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

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INFINI – Histoire

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Nombres

 

Index infini

Historique

Cantor

Hilbert

Gödel

 

Sommaire de cette page

>>> Notation

>>> Historique

>>> Évolution historique

 

 

 

 

INFINI – Historique  

 

Dans l'histoire, les interrogations sur l'infini étaient surtout philosophiques. Elles s'appliquaient essentiellement au temps et à l'espace: l'âge de l'Univers et sa taille.

Évidemment, on savait que l'on pouvait compter indéfiniment et, même que les nombres premier étaient en nombre infini. Mais, il a fallu attendre Cantor pour développer une véritable mathématique appliquée à l'infini.

 

 

 

Notation de l'infini

 

Le symbole  et autres

 

*      Le symbole  représente un huit couché ou huit paresseux. En mathématique, c'est une lemniscate. À rapprocher aussi du ruban de Möbius et de son parcours infini.

*      Autre symbole plus courant: les trois points. Par exemple, pour définir l'ensemble des nombres entiers:  = {0, 1, 2, 3 }.

*      La cardinalité (taille) de l'infini est symbolisée par la première lettre de l'alphabet hébreux: Aleph (). C'est Cantor d'origine juive qui a donné ce nom.

 

En grec,

*      L'infini se disait " apeiron ". Ce mot péjoratif désignait l'infini et l'indéfini. Le chaos originel s'appelait aussi " apeiron ".

 

Romains

*      Ce symbole  était utilisé par les Romains pour représenter 1000,  puis un grand nombre.

 

En 1665, John Wallis,

*      Professeur à Oxford, il utilisa ce symbole pour désigner l'infini pour la première fois dans " Arithmetica Infinitorum ".

 

*      Mais, il ne fut généralisé qu'en 1713 grâce à son adoption par Bernoulli.

 

En 1700,

*      Il apparaît sur une carte de tarot comme auréole du "  Mage ".  La lettre cabalistique en hébreu est aleph ( ) qui sera utilisée par Cantor pour nommer les différents infinis mathématiques.

 

 

 

 

 

INFINI – HISTORIQUE en bref

 

Quand est apparue la notion d'infini?

 

*      À quel âge un enfant peut-il apprécier cette notion? Et, à l'origine des temps?

*      Très difficile à s'imposer dans l'histoire, cette notion renvoyait à Dieu Tout-Puissant. Le monde fini a été créé pour l'homme.

 

Les Grecs

*      Ve siècle av. J. C.  Zénon d’Elée: antinomie sur la divisibilité à l’infini d’un segment de droite.

*      VIe siècle av. J. C.  Pythagore et son école: découverte de racine deux. Un nombre aux décimales en quantité infinie, un nombre irrationnel.

*      IVe siècle av. J. C.  Aristote: le continu est divisible à l’infini en puissance. L’infini c’est ce qui ne se laisse pas parcourir et n’a pas de limite.

Problème: l'infini n’ayant pas de limite, il ne peut être déterminé. Conséquence, il n’existe pas en soi.

Dilemme: si une quelque chose est infini, ses parties devraient, elles aussi, être infinies. Alors, il y aurait l'infini des parties et celle plus grande du tout. Impossible à imaginer! À imaginer en acte, disait Aristote. D'autant que le tout est plus grand que l'une quelconque de ses parties, disait Euclide.

Aristote conclut que l'infini physique ou actuel n'existe pas, il est seulement pensable comme infini potentiel, comme quantité qui augmente ou diminue sans fin.

 

 

IXe s.

*      Thabit ibn Qurra: un infini peut être plus grand qu’un autre. Il y a plus d'entiers sue de pairs. Mais, l'infini des pairs est égal à l'infini des impairs.

 

 Au XIIe siècle

*      Bhaskara ou Bhaskaracharya (1114 – 1185) n'hésite pas à faire de l'arithmétique avec l'infini: infini + n = infini; n divisé par 0 = infini …

 

 

Moyen-âge - Europe

*      Infini comme l'Être suprême, le Dieu, parfait et omnipotent. >>>

 

 

 

Au XVIIe siècle

 

*      Galilée (1564-1642) questionne: est-ce que la quantité des nombres entiers est plus grande que celle de leur carré.

 

*      Blaise Pascal (1623-1662) écrit, au sujet des deux infinis, l'infiniment petit et l'infiniment grand:

 

Leurs extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées, et se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement.

 

*      Spinoza (1632-1677) distingue:

*      le vrai infini, celui de la substance considérée dans sa totalité, indivisible, et

*      le faux infini, l’infini de l'imagination, celui qui apparaît avec les nombres.

 

*      Newton (1642-1727) et Leibniz (1646-1716) développent le calcul infinitésimal indépendamment et sous des formes différentes.

 

 

 

Au XIXe siècle,

 

*      Bernard Bolzano (1781-1848) publie Les paradoxes de l’infini. Avec lui commence l’histoire moderne de l’infini mathématique. Il découvre que le cardinal des segments [0,1] et celui du segment  [0,2] sont identiques.

*      Il est le premier à défendre l'idée que l'infini peut être introduit en calcul mathématique et dans le calcul infinitésimal en particulier. Gauss (1777-1855) y était opposé!

*      Il est le premier à fonder une vision mathématique de l’infini actuel. En caractérisant un ensemble par ses propriétés, sa totalité est appréhendée. Inutile d'énumérer tous les éléments

*      Pour lui, Dieu n’est infini que par les aptitudes infinies que nous lui attribuons.

*       

  

La notion mathématique d'infini

 

*      Elle s'impose en 1873 grâce aux travaux de Georg Cantor (1845-1918).

Voir Plus que l'infini

 

*      Il montre que le nombre de point sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers. C'est la puissance du continu, dit-il.

*      Henri Poincaré (1854-1912) n'adhérait pas à ce concept.

 

 

 

 

INFINI – ÉVOLUTION HISTORIQUE & cosmologie

ÉPOQUE

NOM

IDÉE

MONDE LIMITÉ

MONDE INFINI

VIe s

av. J.-C.

Anaximandre de Milet

 

*   Monde fini dans un espace infini.

 

 

Thales

 

*   Monde: bulle d'air dans une masse liquide infinie.

 

Ve s

av. J.-C.

Démocrite

Leucippe

 

 

*   Nombre infini d'atomes depuis toujours dans un nombre infini de mondes (Atomistes).

500

av. J.-C.

Anaxagore de Clazomènes

 

 

*   Nombre infini de grains dans le monde.

IV è s

av. J.-C.

Platon

Eudoxe de Cnide

*   Dieu, ou l'Unique, est infini.

*   Monde et ciel sont finis, clos par une sphère ultime. Au-delà, il n'y a rien.

 

384 - 322

av. J.-C.

Aristote

*   Infini potentiel, non actuel; nécessité mathématique.

*   Opposé à l'infini réel.

*   Il n'y a rien à l'extérieur de la dernière sphère céleste.

 

 

Selon Aristote, une grandeur peut être infinie de trois manières:

- par composition comme les nombres;

- par division comme la matière qui peut se diviser à l'infini; ou

- par le temps comme les mouvements célestes qui n'ont ni commencement ni fin

 

341 - 270

av. J.-C.

Épicure

 

 

*   Atomiste.

212

av. J.-C.

Archimède

 

*   Voit l'infini en acte et non en puissance.

 

 

Archimède dénombre les grains de sables nécessaires pour remplir la sphère des étoiles fixes: 1063

Nombre très inférieur au plus grand nombre qu'il savait écrire avec les symboles dont il dispose: 10800 000 000

 

 

Lucrèce

 

 

*   Atomiste.

*   La fléchette plantée sur le fond de l'Univers

150

Claude Ptolémée

 

*   Les cieux sont divins.

*   Royaume physique se change progressivement en royaume spirituel habité par les dieux (Empyrée).

V è s

Archytas de Tarente

 

 

*   Il est absurde de penser que je ne puisse pas tendre la main à l'extrémité du ciel.

500

Jean Philopon

*   Le monde a été créé.

 

 

850

Al-Kindi

*   Nie l'éternité du monde.

 

 

1000

Avicenne

*   Les âmes sont en nombre infini.

 

 

 

St Augustin

*   Non seulement Dieu est infini, mais il peut avoir des pensées infinies.

 

 

1340 - 1412

Hasdaï Crescas

*   L'infini existe en acte.

 

*   Pluralité de mondes infinis; existence du vide spatial.

1401 - 1464

Nicolas de Cues

 

 

*   L'Univers est infini car il est l'œuvre de Dieu qui ne saurait être limité dans ses œuvres.

1473 - 1543

Nicolas Copernic

*   La Terre n'est pas au centre de l'Univers.

*   Monde clos, immense, non mesurable.

*   Univers au moins 2000 fois plus grand que celui de Ptolémée: un petit pas vers l'infini.

1548 - 1600

Giordano Bruno

*   Père de la cosmologie infinitiste: brûlé pour ses idées.

*   Rejette la sphère des étoiles fixes. L'horizon n'est qu'un bord apparent qui se déplace avec l'observateur.

*   Le ciel, une immense région éthérée; vie perpétuelle; multiplicité des mondes.

1546 - 1601

Tycho Brahé

*   Observation des étoiles.

 

 

1576

Thomas Digges

 

 

*   Les étoiles s'étendent infiniment vers le haut.

1571 - 1630

Johannes Kepler

*   L'infini est métaphysique; non compréhensible par la pensée.

*   Infinité de l'Univers non fondée sur l'expérience; pas de signification physique.

 

1564 - 1642

Galileo Galilei

*   Observation à la lunette.

*   Paradoxe de Galilée

*   Il est encore incertain si le monde est fini, ou...

*   ...au contraire, infini.

1596 - 1650

René Descartes

*   Lois unifiées de l'univers.

*   L'entendement fini reconnaît l'infini mais,...

*   ...l'infini est réservé au créateur.

1623 - 1662

Blaise Pascal

*   Le silence éternel de ces espaces infinis m'effraie.

 

 

1642 - 1727

Isaac Newton

*   Calcul infinitésimal

*   Mécanique céleste.

 

*   La gravité a une portée infinie; l'espace et le temps sont infinis.

1646-1716

Leibniz

*   Infiniment petit ou grand sont des auxiliaires de calculs pour un résultat final fini.

 

1724 - 1804

Emmanuel Kant

*   Le monde est infini, car Dieu est infini et que le monde dépend de Dieu.

 

*   Ses univers-îles préfigurent la découverte des galaxies

fin du XVIII

Wilhelm Olbers

*   Paradoxe de la nuit noire.

*   Si l'espace est infini, on devrait trouver une étoile en toute direction.

*   Ca n'est pas le cas: l'espace est fini!

*   Le ciel devrait être aussi brillant que le Soleil.

1809 - 1849

Edgar Poe

*   Texte prémonitoire " Eurêka ".

*   Le temps n'est pas infini; les étoiles n'ont pas toujours existé.

 

Début

du XXe

 

*   L'Univers en expansion.

*   L'énergie lumineuse se dilue et diminue avec le temps.

 

1879-1955

Albert Einstein

*   Cosmologie relativiste: espace-temps courbé par la matière.

*   Monde a la fois fini (mesurable) et ...

*   ... sans limite. Mais statique! (erreur!).

1924

Edwin Hubble

*   Télescope du Mont Wilson de 2,5 m.

*   Andromède est hors de notre Galaxie; C'est elle-même une galaxie parmi des milliards.

*   Et elles s'éloignent de la nôtre à des vitesses proportionnelles à leur distance.

1927

Georges Lemaitre

Alexandre Friedmann

 

 

*   L'espace entier se dilate au cours du temps

 

L'espace se dilate comme un soufflé; les galaxies s'éloignent les unes des autres comme les raisins dans le soufflé. (Attention: l'image du ballon de baudruche n'est pas bonne).

Ce modèle suppose l'espace isotrope (mêmes propriétés partout). Mais le signe de la courbure reste à être déterminé! Celle-ci dépend de la densité moyenne de matière que le monde contient. Selon qu'elle est supérieure ou inférieure à une valeur critique (10-29 g/cm3) la courbure de l'espace est positive ou négative. l'espace serait alors fini (replié sur lui-même sous l'effet de sa propre gravitation) ou... infini.

La densité observée aujourd'hui est 10 fois inférieure à la valeur critique. L'espace serait donc infini. On recherche la masse manquante qui serait basculer le monde infini en Univers fini!

 

 

Bolzano

*   Infini et fini: même statut.

 

 

 

Georg Cantor

*   Infini et transfinis.

*   Théorie mathématique de l'infini.

 

 

 

 

 

 

*   L'Univers ne gonfle dans rien du tout, puisqu'il n'y a pas d'espace en dehors de lui-même.

 

 

Si bornée que soit la nature humaine, elle porte pourtant en elle, c'est inhérent, une très grande part d'infini.

Georg Cantor 1883

 

  

 

 

PENSÉES MODERNES

 

Et aujourd'hui, qu'en pense-t-on?

*      Il reste encore des problèmes intéressants à résoudre sur l'infini et les transfinis!

*      Par exemple le premier problème de Hilbert. Est-on sûr qu'il n'y a pas une étape entre le dénombrable (0 ) et le continu (1 ). Après les travaux de Gödel (1938) et Cohen (1963), cette question, dite " hypothèse du continu " serait indécidable.

*      Mais surtout, la dualité fini / transfini continue de tracer dans l'ensemble des mathématiques une ligne de partage, que les mathématiciens redéfinissent sans cesse sans jamais l'abolir.

  

Les acteurs

 

Pour

l'abstraction

du transfini

Contre

Partisan du dénombrable

et de l'infini potentiel

Bernard Bolzano

1781-1848

Kronecker

1823-1891

Georg Cantor

1829-1920

Henri Poincaré

1854-1912

Richard Dedekind

1831- 1916

Brouwer

 

David Hilbert

1862-1943

Hermann Weyl

 

Kurt Gödel

1906- 1978

 

 

 

 

Voir Hypothèse du continu – Historique

 

 

 

Suite

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