NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 07/02/2020

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths                      

               

Polygones

 

Débutants

Géométrie

PENTAGONES

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Constructions

 

Méthodes

 

Polygones

 

Géométrie

Général

Données

 

Constructions

Pentagone

Mesures

 

Méthodes générales 

Cercles – Mascheroni

Nombre d'or

Angles

 

Avec Racine de 5

Approchée de Dürer

Pentacle

Segments

 

Avec bissectrices

Approchée originale

 

Méthode Euclide

Dissection

 

Sommaire de cette page

>>> 5) Méthode des bissectrices (Richmond)

>>> 6) Méthode des cercles tangents

>>> 7) Construction du pentagone à partir d'un cercle

 

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

Impliquant la construction de bissectrices

et autres méthodes

  

Plusieurs méthodes de construction du pentagone régulier dont celles basées sur la construction de bissectrices ou celles à partir de cercles.

 

 

 

5) Méthode des bissectrices (Richmond)

 

Construction de Richmond

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation des bissectrices

 

Méthode

Cercle de diamètre AB et son diamètre perpendiculaire en D.

Intersection C

Le point milieu P de CD.

Droite PB et intersection S.

Bissectrices (roses): PR de DPB et PQ de DPS

Intersections Q et R.

Parallèles en Q et R à CD.

Intersections F, G, E et H.

 

Pentagone: BEFGH.

 

Note: les Q et R sont les projections sur AB des sommets du pentagone.

 

 

Justification

 

On retrouve la racine de 5

 

Théorème des bissectrices:

 


 

 

 

Angles du pentagone


DR est le cosinus de l'angle HDR dan le triangle rectangle HDR.

L'angle UDR vaut 72° caractéristique du pentagone à partir du centre du cercle circonscrit.

 

Idem pour l'autre côté

L'angle GDQ vaut 36° caractéristique du pentagone à partir du centre du cercle circonscrit.

Voir Construction par Euclide utilisant aussi les bissectrices

 

 

6) Méthode du cercle tangent

 

Construction dite du cercle tangent

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation de deux points de tangences et de deux droites tangentes

 

Méthode

Cercle de center O; deux diamètres orthogonaux; points AGMN.

Point T milieu du rayon ON

Point S au quart du rayon OG (R est un point de construction, milieu de OG)

Cercle (S, ST) en rose

Intersections P et Q

Tangente au cercle en P et Q

Intersections B, C, D et E

 

Pentagone: ABCDE.

 

 

 

Justificatif

La racine de 5 se cache dans le segment ST (vert).

Or la hauteur du trapèze vaut rac(5) / 4, soit deux fois ST.

D'où la construction avec le cercle rose.

 

 

 

7) Méthode des cercles tangents – Y. Hirano

 

Construction dite des tangentes

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation de deux points de tangences et de deux cercles tangents.

 

Méthode

Cercle de center O.

Un point A sur ce cercle.

Diamètre AO et intersection A'.

Point  O' milieu du rayon perpendiculaire à AO.

Cercle de centre o' et de rayon OO'.

Droite A'O'.

Intersection en S et R.

Cercle de centre A' et de rayon A'S.

Cercle de centre A' et de rayon A'R.

Avec A, les intersections BCDE forment le pentagone.

 

Pentagone: ABCDE.

 

 

Justification avec OA = OB = R = 1

On montre que l'angle CDH = 36°, caractéristique du pentagone.

 

Dans le triangle rectangle CDH:

 

Arc CH intercepté par les angles alpha et béta:

 

 

Autre justification avec sommets B et C (et même chose par symétrie pour A et E)

Les triangles FQO et FOC sont semblables

En partant du rayon:

OF² = FP² – OP² = (FP – OP)(FP + OP)

= (FP – PG) (FP + PH) = FG . FH = FQ . FC

= le produit des rayons des cercles verts.

On écrit OF² = FQ.FC sous cette forme:

 

Le triangle FOC est isocèle (car OF = OC):
b = e et  a+d = 180 – 2b

 

Les triangles FQO et FOC sont semblables car:

un angle commun en F, et des côtés proportionnels. Illustration:

Angle au centre O = angle du pentagone (Pi/5)

Semblables, or FOC est isocèle, donc FQO aussi

Angles:   b = e = d  et a + d = f = 180 – 2b = FOC

On devine que b = e = d = 36° et a + d = f = 108°

 

D'après la construction: GH = QC = R = 1

Avec QC = OC, le triangle  COQ est isocèle:
a = 180 – f

Nous avons d'un côté FOC = a + d = 180 – 2b

Autre évaluation de FOC avec e = b:
FOC = a + d = (180 – b) /2 + b = 180/2 + b/2

En rapprochant:
180 – 2b = 180/2 + b/2 => 180 = 5b

 Le point B est un sommet du pentagone

Si le point B est bien un sommet du pentagone on doit retrouve que l'angle FOB = d = 36°, ce qui est le cas;

Et que le triangle FBQ est bien le triangle isocèle obtenu avec deux rayons (FB et FQ) du cercle vert.

Dans le triangle FQB:
Même arc BC intercepté:
c = a/2 = (180 – 108) / 2 = 36°
FQB = OQC = a = 72°
FBQ = 180 – 36 – 72 = 72°

Le triangle FBQ est bien isocèle

Démonstration inspirée de celle de Patrice Debart – Construire un pentagone régulier

 

 

8) Construction du pentagone à partir d'un cercle

 

 

Construction

Réalisation d'un pentagone inscrit dans un cercle donné.

Méthode basée sur l'utilisation de deux points de tangences et de deux cercles tangents.

 

 

 

Méthode

On souhaite tracer le pentagone dans le cercle AB (rose).

Cercle de centre B et de rayon AB.

Intersection en C.

 

 

Droite BC.

Intersection D.

Droite AD.

Intersection E.

 

 

 

Cercle de centre B de rayon CE (pointillés)

Intersection F.

La longueur du segment EF est celle du pentagone.

La relever au compas et la reporter sur le cercle pour construire le pentagone comme indiqué ci-dessous.

 

Quelques éléments de calculs



 

Le calcul de AF est à justifier:

Dans le triangle FAB, Angle en A = 120°= 2Pi/3, AB = R = 1 et FB = rac(2).

Loi des sinus: sin(AFB) = 1.sin(120°) / rac(2)
FBA = Pi - 2Pi/3 – arcsin(AFB)
AF = 1.sin(FBA) / sin(AFB = 0,618 …

Il faudrait une formulation directe sans passer par les arcsinus.

 

Construction des points du pentagone

Cercle de centre B et de rayon EF.

Intersections G et H.

Cercle de centre G et de rayon EF.

Cercle de centre H et de rayon EF.

Intersections I et J.

 

Pentagone: BGJIH.

 

 

 

 

Retour

*    Méthodes de construction avec la racine de 5

*    Pentagone

Suite

*    Construction approchée du pentagone (Dürer)

*    Pentagone et nombre d'or

*    Pentacle
Pentagone sous toutes les coutures

*    Construction approchée du pentagone par la méthode Bion

Voir

*    Constructible

*   Construction de l'icosagone

*    Étoile à  6 branches

*    Étoile et nombre d'orApproche

*    Fleurs à 5 pétales

*    GéométrieBases

*    GéométrieIndex

*    Nombre d'Or

*    Polygones

DicoNombre

*    Nombre CINQ

Sites

Voir les liens en première page

 

*    Regular Construction by Yosifusa Hirano – Cut The Knot

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PentaCo2.htm