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Sommaire de cette page

>>> Construction du triangle isocèle 32-72-72

>>> Construction du pentagone – Euclide

>>> Construction dorée d'Euclide

>>> Rectangle et carré

>>> Triangle doré – Justification

Voir Pentagones de Dürer

 

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER – Construction

Méthode d'Euclide

  

Plusieurs méthodes de construction du pentagone régulier dont celle basée sur la construction d'un triangle isocèle préalable, puis des bissectrices, à la façon d'Euclide.

Voir Angle Pi/5 = 36°

 

 

 

Construction du triangle isocèle 32-72-72

dit triangle d'or

 

Un cercle et deux diamètres perpendiculaires sur AB et AC.

Le point D est le milieu de AC.

Cercle de centre C et de rayon CB.

Intersection en E.

Cercle de centre A et de rayon AE.

Intersection en F.

Cercle de centre B et de rayon AF.

Intersection en G.

 

Triangle 36-72-72: ABG

 

Le triangle d'or est un triangle isocèle dont l'angle à la base vaut deux fois celui du sommet. Triangle que l'on trouve dans le tracé du pentagone avec son étoile à cinq branches.

Voir Justification

 

 

Construction du pentagone – Euclide

 

Euclide propose une méthode dessiner un pentagone dans un cercle. Il commence par montrer comment tracer un triangle doré dans le cercle à partir de celui dessiné ci-dessus. Nous passons cette étape.

 

Nous disposons donc du triangle doré ABC construit selon la méthode indiquée ci-dessus.

Construire le point D. C'est le point de concours des médiatrices des côtés.

Cercle de centre D et de rayon DA. C'est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Bissectrices AF et BE des angles à la base du triangle isocèle ABC.

Intersections en E et F

 

Pentagone régulier: ABFCE

 

 

 

 

Le triangle ABC est un triangle d'or

Côté: 1, Phi, Phi

Angles: 36°, 72°, 72° ou Pi/5, 2Pi/5, 2Pi/5

 

Justification

Il s'agit de montrer que la construction proposée par Euclide conduit bien au tracé d'un triangle doré.

Deux étapes:

*      une construction dorée originale qui, par parenthèses, apparente cette méthode à celles impliquant la construction d'une racine de 5.

*      une justification dont le point de départ est cette construction dorée.

 

Construction dorée d'Euclide

 

Dans son livre Les Éléments (II 11), Euclide propose une construction qui définit une égalité remarquable. Elle a trait au nombre d'or, même si ce nom n'était pas encore connu à l'époque.

 

Construction

Carré ABCD de côté 10 et aire = 100

Le point M est le milieu de AB. Le but est d'introduire une racine de 5 en MC

Cette longueur MC est reportée sur la droite AB, créant le point F.

La longueur BF est reportée en BG. La parallèle à AB et celle à BC en F définissent le rectangle HIFA.

L'aire de ce rectangle et égale à celle du carré de départ.

 

Aire ABCD = Aire HIFA => AB² = AF.AH

Et, en retirant à chacun ABGH:

Aire DCGH =  Aire BFIG => FI² = DC.DH

Justification

Longueur du segment MC
avec côté AB = a = 1.

Longueur de AF, l'un des côtés du rectangle

Longueur de IF, l'autre côté du rectangle

Aire du carré (avec a = 1)

 

Aire du rectangle

Longueur du segment HF, diagonale du rectangle

Longueur du segment AC, diagonale du carré

 

Résumé des propriétés de cette figure

 

Aire grand carré  = Aire grand rectangle

Aire petit carré     = Aire petit rectangle

 

Avec carré de côté 1

Diagonale du carré = rac(2)

Diagonale du rectangle  = rac(3)

Longueur du segment vert: rac(5) / 2

Longueur du rectangle  =  Phi

Larguer du rectangle = 1/ Phi

 

Voir Brève 443

 

 

Rectangle et carré

Euclide raisonnait en termes d'aires pour comparer des égalités:

*        représente l'aire du carré: il dit, comme nous, le carré de a

*      b.c représente l'aire du rectangle: il dit, par analogie, le rectangle de b et c

 

Les livres anglais, américains ou indiens adoptent encore aujourd'hui cette formulation.

A rectangle whose adjacent sides are AB, AD is denoted by the rect. AB,AD; this is equivalent to the product AB.AD.

 

Notations utilisées dans le calcul de la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Voir Théorème de Pythagore

 

 

 

Triangle doré – Justification

 

Ce qu'il faut démontrer

La construction présentée crée bien un triangle isocèle dont l'angle à la base ets le double de celui du sommet.

 

Démonstration

On reprend le début de construction vue ci-dessus, jusqu'à la construction du point F.

On y retrouve la construction dorée avec le petit carré AFGE et le petit rectangle FBJI dont les aires sont égales. Alors:

AE² = FI.FB     =>     AF² = BA.BF

 

 

On retient les points AFB de la figure précédente.

On trace le point G sur le cercle vert tel que BG = AF et le cercle qui passe par les trois points A, F et G.

 

Notre relation:        AF² = BA.BF  = BG²

Cette nouvelle relation montre que BG est tangent  au cercle bleu.

Interception de l'arc FG par l'angle FAG et par l'angle BGF (avec BG tangent)
 => angle a  = angle c; on note a = c

Les points B et G sont sur le cercle vert: le triangle ABG est isocèle et f =  b + c = b + a

Triangle AFG: e = 180 – d = 180 – (180 – a – b) = a + b

Avec des angles égaux (f = e), le triangle GFB est isocèle.

On a alors GF = GB = AF

Avec deux côté égaux (AF et GF) le triangle FAG est isocèle. Alors: a = b = c

L'angle en G (b+c) est bien le double de celui en A (a). Ce que nous voulions.

 

 

 

 

 

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Site

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*    Construction of the Regular Pentagon – Berkeley

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Pentagon.htm