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Sommaire de cette page

>>> Méthode Dürer – Historique

>>> A1) Construction approchée du pentagone régulier

>>> A2) Construction à partir d'un triangle équilatéral

 

 

 

 

PENTAGONE RÉGULIER – Constructions

Méthodes approchées, Méthode dite de Dürer

  

Plusieurs méthodes de construction exactes du pentagone régulier.

Certains ont cru avoir trouvé d'autres méthodes. Très voisines de l'exactitude, mais approchée. C'est le cas de la méthode exposée par Albrecht Dürer, sans doute trouvée avant lui.  

 

 

Méthode Dürer – Historique

 

1486: cette construction figure dans le Geometria deutsch, manuel  de  six  feuilles  attribué  à  l’architecte  Matthäus  Roritzer  et  imprimé  à Ratisbonne en 1486.

1525, Dürer a sans doute puisé pour la présenter dans le tome II de son livre Traité de la mesure, avec la règle et le compas, en lignes, niveaux et corps entiers (1525) Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen

La méthode figure dans les manuels de géométrie sous le nom de méthode Dürer et elle reprise par de nombreux mathématiciens: Tartaglia, Cardan, Guidobaldo del Monte, Cataldi, etc.

1592, Galilée reprend cette construction dans son cours de mathématiques. Elle figurait dans les manuels de

 

Voir Pentagones fractals de Dürer

 

 

Albrecht Dürer (1471-1528): dessinateur, graveur et peintre allemand également connu comme théoricien de la géométrie et de la perspective linéaire.

 

Son livre (1525):

Traité de la mesure, avec la règle et le compas, en lignes, niveaux et corps entiers.

Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen.

 

Extrait sur la construction du pentagone

D'après La géométrie d'Albrechy Dürer – Jeanne Peiffer

 

        

A1) Construction approchée du pentagone régulier

 

Construction approchée dite de Dürer

Le segment AB est un côté du pentagone.

La même ouverture de compas AB va servir tout le long de cette construction.

 

Cercle de centre A et de rayon AB.

Cercle de centre B et de rayon AB.

Intersections en C et D.

Cercle (rose) de centre D et de rayon AB.

Intersections en E, F et G.

Droites EG et FG.

Intersections en H et I.

AH et BI sont deux nouveaux côtés du pentagone.

Attention le point G n'est pas sur AB !

 

Cercle de centre H et de rayon AB

Cercle de centre I et de rayon AB

HJ et IJ sont les deux derniers côtés du pentagone.

 

Pentagone: ABIJH

 

 

Pourquoi approchée ?

Rayon des cercle = 1 (disons).

EF est le diamètre du cercle (D) = 2

Angle EAB = Angle EBF = Droit.

Pythagore dans le triangle rectangle EBF:

BE =  EF =

AEF est un triangle rectangle avec côté R et 2R => angles (30°, 60°).

Arc AG = Arc GB.

EG bissectrice de l'angle AEB.

Angle GEB = 15°

Loi des sinus dans le triangle EBI:

sin(BEI) / BI = sin(BIE) / BE

sin(BIE) =  sin 15°

BIE = 26,63387984…°

IBE = 180 – 15 – 26, 6… = 138,3661202…

Avec ABE = 30°

IBA = 138,3… - 30 = 108,3661202

Au lieu de 108°

Erreur relative de 0,34%

 

 

 

 

A2) Construction à partir d'un triangle équilatéral

Variante de méthode A1)

 

Triangle équilatéral ABP.

Trois cercles verts centrés sur les sommets.

Intersections F, G, P et R

Droite PR

Intersection Q

Droites FQ et GQ

Intersections E et C

Cercles (E, EA) et (C, CB)

Intersection D

 

Pentagone: ABCDE.

 

 

 

 

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*    Pentagone

Suite

*    Construction étonnante (approchée) du pentagone

*    Pentagone et nombre d'or

*    Pentacle
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*    Construction approchée du pentagone par la méthode Bion

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*    La géométrie d’Albrecht Dürer et ses lecteurs – Jeanne Peiffer – CNRS

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/PentaCo3.htm