NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/02/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique       Brèves de Maths    

            

Polygones

 

Débutants

Géométrie

POLYGONES un par un

 

Glossaire Géométrie

 

INDEX

 

Polygones

Géométrie

Polygones

Triangle

Carré

Pentagone

Hexagone

Heptagone

Octogone

Ennéagone

Décagone

Dodécagone

Heptadécagone

Icosagone

 

Sommaire de cette page

 

>>> Icosagone – Présentation

>>> Icosagone et ses angles

>>> Construction de l'icosagone

>>> Géométrie de l'icosagone

>>> Programmation Scratch

>>> Icosagone – Curiosités

 

 

 

 

ICOSAGONE

 

Icosagone: polygone à vingt côtés ou vingt angles (du grec: eikosi, vingt et gonia, angle).

Icosaèdre: polyèdre à vingt faces.

Icosaèdre régulier: un des cinq solides platoniciens.

 

Anglais: an icosagon is a 20-sided polygon / regular icosagon

 

 

Icosagone – Présentation

Quelconque

Polygone à 20 sommets, 20 côtés et 20 angles.

Quantité de diagonales: ½ 20 x 19 – 20 = 170.

 

Régulier

Somme des angles: (20 – 2) x 180° = 3 240 °

Angle au sommet: 3 240 / 20 = 162°

Angle au centre interceptant un côté: 360 / 20 = 18°

L'icosagone régulier est constructible.

 

Étoilés

Les trois polygones qui relient un sommet sur trois, sur sept et sur 9. {3, 7 et 9} sont les trois nombres premiers inférieurs à 20 et premiers avec 20.

Icosaèdre convexe quelconque

Convexe: en parcourant le périmètre dans le sens horaire par exemple, on pivote toujours vers la droite pour tracer le côté suivant.

Autre définition: le segment qui joint deux points quelconques du polygone, y compris du périmètre,  est toujours à l'intérieur du polygone.

 

 

Icosagone et ses angles

 

Un carré et un pentagone régulier construits sur les côté d'un icosagone.

Montrer que les points B, D et E sont alignés.

 

Mesure de l'angle ABE:

*      Angle en A = Angle icosagone (162°) – angle du carré (90°) = 72°;

*      Le triangle ABE est isocèle (AB = AE). L'angle en B est égal à la moitié de 180° moins l'angle au sommet (72°) = 54°.

Mesure de l'angle ABD

*      C'est l'angle de l'icosagone (162°) moins celui du pentagone (106°) = 54 °.

Les angles ABE et ABD ont même mesure (54°), les points B, D et E sont alignés.

 

 

L'angle en B est évalué de deux manières: avec ABE et avec ABD. L'égalité montre que les trois points sont alignés.

 

 

 

Icosaèdre régulier avec ses trois versions étoilées

Icosagone et triangles équilatéraux (tous les quatre sommets)

 

 

Construction de l'icosagone

 

 

Étape 1

 

Construction de la figure 1 par la méthode classique de construction des médiatrices

Le point O est le milieu de AB et O' celui de OB.

 

Étape 2

 

 

Tracez le cercle de centre O' et de rayon OO'.

Tracez le segment CO' qui coupe le petit cercle en E

Tracez le cercle de centre C et de rayon CE qui coupe le grand cercle en F

 

 

 

Étape 3

 

Tracez le cercle de centre B et de rayon BF.

Gardez cette ouverture du compas

 

Tracez le cercle de même rayon à partir de chacun des nouvelles intersections avec le grand cercle (comme F').

 

Les 20 sommets de l'icosagone sont ainsi définis tour à tour.

 

Figure 1

Figure 2

Figure 3

 

Autre possibilité

 

Étape 1 identique.

 

Tracez la bissectrice de OO'C qui coupe OC en E.

Tracez en e la parallèle à OB qui coupe le cercle en F.

 

L'angle BOF vaut 18°.

 

Pour tracez l'icosagone, reportez la longueur FB de proche en proche.

*Voir Construction animée sur Icosagone - Wikipédia

 

 

 

Géométrie de l'icosagone

Relation entre

*      Longueur du côté: c

*      Rayon du cercle circonscrit: R, et

*      Rayon du cercle inscrit (ou apothème): r

Cercles circonscrit (R) et inscrit (r)

 

 

 

Voir Trigonométrie de l'icosagone / Multiplication par conjugué

 

Aire de l'icosagone régulier

 

 

 

 

 

 

À comparer à l'air du cercle: Ac = 3,14 … R²

L'icosagone remplit le cercle dans cette proportion:

 

Validation des formules par mesures sur un icosagone (via Geogébra)

 

 

Programmation Scratch

Ce programme est très simple à réaliser

 

Commentaires

Le programme exécute 20 fois "avancer de la quantité pas = 50"  et "tourner de 18° ".

Pour tracer deux diagonales et le centre, quatre couples de variables (x, y) sont mémorisés à la fin de chaque quart de tour (5 côtés).

Pour finir sur le centre, le crayon est envoyé au milieu de l'une des diagonales.

 

Dessin réalisé

Suite

Dernière instruction

Voir ProgrammationIndex  / Programmation du cercle avec Scratch

 

 

 

 

Icosagone – Curiosités

 

Les colonnes doriques comportent vingt cannelures.

 

Le Tholos de Delphes compte vingt colonnes à sa périphérie. Construit vers 380-370 avant J.-C. Chaque colonne est creusée de vingt cannelures.

 

Le swastika (illustration) est un icosagone irrégulier.

 

 

L'icosagone (20) est le mariage du carré (4) et du pentagone (5) avec 20 = 4 x 5.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Dodécagone – Construction

*    Dodécaèdre

*    Heptadécagone

Voir

*    Construction du pentagone

*    Polygone

*    Hexagone

*    Calcul de Pi

Aussi

*    Constructibilité

*    GéométrieIndex

*    Partage du cercle

*    Rosaces

DicoNombre

*    Nombre 12

*    Nombre 0,517

Sites

*    Icosagone – Wikipédia

*    Icosagon – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Icosagon.htm