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Triangle

 

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Sommaire de cette page

>>> Le problème posé

>>> Mise en place du repère

>>> Le triangle est isocèle

 

Aire du triangle

>>> Méthode rapide pour se faire une idée

>>> Méthode analytique 1: Classique

>>> Méthode analytique 2: Formule

>>> Méthode analytique 3: Déterminant

 

 

 

 

 

Aire du TRIANGLE

Calcul à partir des coordonnées des sommets

 

À partir d'un exercice, examen de trois méthodes analytiques de calcul de l'aire d'un triangle quelconque.

Anglais: how to find the area of a triangle given three vertices?

Area of a triangle by formula – Coordinate geometry

 

 

Le problème posé

Données

Carré ABCD et son centre O;

Point I symétrique de A par rapport à B;

Point J symétrique de D par rapport à A; et

Triangle OIJ.

 

Questions

En utilisant le repère orthonormé (A; B, D):

*       Montrer que le triangle OIJ est isocèle.

*       Aire du triangle OIJ.

 

 

Mise en place du repère

Repère orthonormé (A; B,D)

*       Origine en A;

*       Vecteur unité AB pour les abscisses (x); et

*       Vecteur unité AD pour les ordonnées (y);

 

 

Coordonnées des points

Indication sur la figure des coordonnées des points utiles.

 

Le point H

Le point H, milieu du segment IJ, a été introduit. Quelle est sa propriété ?

Le triangle étant isocèle (on va le démontrer), le segment OH est une des hauteurs du triangle isocèle (et aussi, médiane, médiatrice et bissectrice de l'angle en O) >>>

 

 

 

Le triangle OIJ est isocèle

 

Observation

On note tout de suite que =>

 

 

 

Mais

il faut montrer cette égalité avec un calcul utilisant les coordonnées.

Pour le segment OI:

longueur en x = 1,5 et longueur en y = 0,5.

Pour le segment OJ:

longueur en x = 0,5 et longueur en y = 1,5.

 

Ce sont les mêmes valeurs  (symétriques) => OI = OJ.

Le triangle OIJ est bien isocèle.

 

Longueur de OI

(Théorème de Pythagore)

      = (2 – 1/2)² + (0 – 1/2)²

      = (3/2)² + (–1/2)² = 5/2

Longueur de OJ

      = (0 – 1/2)² + (–1 – 1/2)²

      = (–1/2)² + (–3/2)² = 5/2

Conclusion

 

 

Deux des côtés du triangle OIJ sont égaux, il est isocèle en O.

 

 


Aire du triangle – Méthode rapide pour se faire une idée

Base IJ du triangle OIJ
 
(avec Pythagore)

IJ² = 1² + 2² = 5

En lisant les longueurs sur la figure

Hauteur OH (H milieu de IJ)

OH² = 1² + (1/2)² = 5/4

Aire

A = ½ IJ x OH = ½ 5 x 5/2 =  5/4 = 1,25

Je me rassure avec le logiciel GeoGebra

 

Confirmation que l'aire vaut un quart de plus que l'aire du carré unité.

En passant, on vérifie que OJ  et IO mesurent: 1,58 comme nous l'avions trouvé plus haut.

 

On note également les coordonnées du point H (1, –1/2).

 

 

Aire du triangle – Méthode analytique 1: Classique

La méthode 1 utilise cette méthode classique: aire = ½ côté x hauteur

Aire du triangle  OIJ

A = ½ IJ x OH

On a vu que OH est la hauteur du triangle isocèle issue de O.

Longueur de IJ (carré)

      = (0 – 2)² + (–1 – 0)² = 2² + 1² = 5

Coordonnées du point H

 

XH = ½ (XI – XJ) = ½ (2 – 0) = 1

YH = ½ (YI – YJ) = ½ (0 – 1) = –1/2

 

Longueur de OH (carré)

      = (1 – 1/2)² + (–1/2 – 1/2)²

      = (1/2)² + (-1)² = 1/4 + 1 = 5/4

Aire

 

 

 

Aire du triangle – Méthode analytique 2: Formule

Cette méthode est du niveau lycée (seconde).

*       Son emploi direct pour la résolution d'un exercice est possible si elle a été vue en cours.

*       Sinon, sa démonstration est nécessaire. Elle est simple via le calcul de l'aire de trois trapèzes >>>.

 

Formule de l'aire d'un triangle connaissant les coordonnées des sommets

 

Avec les valeurs numériques

 

A = ½ {1/2 (0 – (–1)) + 2 ((–1) – 1/2) + 0 (1/2 – 0)}

      = ½ { 1/2 – 3  + 0 }

      = –1/2 x 5/2 =   –5/4

A   = 5/4  (la valeur positive)

 

 

 

 

Aire du triangle – Méthode analytique 3: déterminant

Cette méthode est d'un niveau supérieur. Elle suppose la connaissance des matrices.

Elle connue pour donner l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs.

Formule de l'aire d'un triangle connaissant deux vecteurs comme côtés.

Avec les valeurs numériques

 

 

 

 

Retour

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Site

*         Calculateur de l'aire du triangle – Math Open Reference

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