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Relation de Fermat entre triangulaires et pyramidaux & Somme des puissances Pierre de
Fermat
(1607-1665) écrit en 1636 que sa découverte est sans doute le plus beau
problème de l'arithmétique. Ses lettres étaient destinées à Marin Mersenne
(1688-1648) puis à Gilles Personne de Roberval (1602-1675). Selon
Fermat le calcul des sommes
de puissances (1k + 2k + 3k … + nk) peut être réalisé en utilisant sa relation
entre les nombres
figurés géométriques. Cette méthode est originale, même si on savait déjà
calculer ces sommes avant lui. Blaise Pascal
(1623-1662) avec lui aussi une relation du même genre avec son triangle. |
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Triangulaires (2D – figure plane) On
s'intéresse ici aux nombres triangulaires qui sont la somme cumulée des
nombres entiers. Le cinquième: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Des segments comprenant une quantité progressive de points sont
empilés pour former un triangle. Pyramidaux (3D – figure en volume) Ce sont, cette
fois, la somme cumulée des nombres triangulaires. Le quatrième: 1 + 3 + 6 + 10 = 20.
Les triangles complets successifs sont empilés les uns sur les autres
pour former une pyramide
à base triangulaire. |
Table des nombres triangulaires et
pyramidaux de dimensions successives
Voir
Triangle de Pascal Hyper-pyramidaux (nD – de énième dimension) Le
processus d'empilement est répété: les pyramidaux Tn sont la somme cumulée des pyramidaux Tn-1 . Par exemple: T5, 20 =
42 504 |
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Voir Programmes
Triangle de Pascal et nombres pyramidaux
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En
ocre le triangle de Pascal classique; il est
prolongé en blanc.
Le
triangle
de Pascal contient tous les nombres figurés pyramidaux. Les
nombres de dimensions 5 sont aussi bien en ligne 5 qu'en colonne 5. Le
rang est égal au numéro de ligne ou de colonne moins 1. T5,10 = 2 002 est en colonne 5 et ligne 9 ou en ligne
5 colonne 9. |
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Fermat à
trouvé une relation qui lie les nombres d'une colonne à ceux de la colonne
précédente. Exemple Prenons T3,4 = 20. Ce nombre est lié au nombre à gauche et un
cran plus bas: T2,5 = 15. Les
coefficients sont pour l'un sa dimension (3) et pour l'autre son rang (4). On peut dire: le Pyramidal (20) de dimension 3 et de rang 4 est lié à
celui (15) de dimension 2 et de rang 5 de cette façon:
Formulation
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Application Calculons T4, 5 . Sachant le tableau donne 70.
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Formulation narrative de Fermat |
Dans la progression des nombres
naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui
le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; La multiplication du triangulaire, par le nombre
qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du
pyramidal; Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de
la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à
l'infini par une méthode générale et uniforme. En formule cela donne:
Les nombres triangulo-triangulaires sont la généralisation
des nombres pyramidaux en dimension quatre: il s'agit d'empiler des pyramides
dont les côtés varient de 1 à n, notés T4 ci-dessus. |
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Interprétation |
La relation de Fermat présente sous une forme
"déguisée" les formules de calcul de l'aire
du triangle, du volume de la pyramide et la généralisation à des
hyper-volumes. Ci-dessous, on reprend le calcul des nombres
triangulaires pour donner une idée de ce fait. Ensuite, le volume de la
pyramide à base triangulaire est égal à 1/3 du volume du prisme ayant
même base et même hauteur. |
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Fermat se propose de calculer la somme des carrés des nombres
successifs à partir de sa relation. Cette formule était connue bien avant
lui. Sa contribution: calculer les sommes de puissances à partir de sa
relation entre nombres figurés. |
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Nombres triangulaire = somme des
entiers Comment
calculer un nombre triangulaire de rang n? Exemple:
T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. C'est aussi la moitié du nombre
rectangulaire: T5 = ½ (5 x 6) = 15. Une simple lecture sur la figure indique que: la somme des entiers jusqu'au rang n est égale au
demi-produit du rang par le rang suivant:
Voir Somme
des entiers |
Nombre rectangulaire = 2 x triangulaire
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Relation de Fermat pour triangulaire et pyramidal Note: le i est
un indice et non le nombre imaginaire! |
n x Triangulaire = 3 x Pyramidal
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Calcul de la somme des carrés Le calcul pour les carrés est acceptable; pour
les puissances supérieures, il devient fastidieux. |
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La relation de Fermat se retrouve dans le
triangle de Pascal. C'est la conséquence n°12 identifiée par Pascal dans son
Traité du triangle arithmétique (1654). Prenons la définition des coefficients
binomiaux du triangle de Pascal sous leur forme factorielle
et calculons sa relation avec le suivant. |
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2 x 10 = 4 x 5 |
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Comparaison En
reprenant les exemples ci-dessus. En ocre,
la relation de Fermat et en blanc celle de Pascal. |
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Fermat
comme Pascal ont trouvé la même relation sous des angles différents: l'un
avec les nombres figurés et l'autre au travers de son triangle arithmétique. Fermat
y a vu une possibilité de calculer les sommes de puissances des nombres
successifs. Beauté mathématique, mais peu praticable. |
Merci
à
Jean-Paul B. à l'origine de la création de cette page
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