NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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 Premiers de Bertrand

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nombres de Bertrand

>>> Généralisation en matrice

>>> Programmation

 

 

 

 

 

NOMBRES PREMIERS de BERTRAND

 

Nombres premiers se rapprochant le plus, par défaut, du double du précédent.

Anglais: Bertrand primes

 

 

Approche

 

Théorème de Tchebychev (ex postulat de Bertrand

 

Entre n et 2n, il existe toujours un nombre premier.

 

Voir Postulat de Bertrand

 

Entre 100 et 200, il y a 21 nombres premiers:

101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Essais

Les nombres premiers en rouge sont ceux les plus proches des doubles successifs.

 

Prenons 2 puis les doubles successifs

2

 

4

 

8

 

16

 

32

 

3

 

5, 7

 

11, 13

 

17, 19, 23, 29, 31

 

   

En rouge, les nombres premiers justes inférieurs à 2k.

 

Nombres de Bertrand

On reprend le même principe, mais au lieu du double du nombre précédent, on prend le double du nombre premier trouvé.

 

Prenons 2 puis les doubles des premiers trouvés (rouge)

2

 

4

 

6

 

10

 

14

 

26

 

46

 

3

 

5

 

7

 

11, 13

 

17, 19, 23

 

29, 31, 37, 41, 43

 

   

En rouge, les nombres premiers de Bertrand: premier le plus proche du double du précédent nombre de Bertrand.

Le nombre 23 est un nombre premier de Bertrand, le suivant est 43, le nombre premier le plus proche de 23 x 2 = 46.

 

 

Nombres de Bertrand

 

Définition

En commençant par B = 2, les nombres de Bertrand suivants seront les nombres premiers approchant par défaut le double du précédent nombre de Bertrand.

 

Liste des 50 premiers

 

2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 5003, 9973, 19937, 39869, 79699, 159389, 318751, 637499, 1274989, 2549951, 5099893, 10199767, 20399531, 40799041, 81598067, 163196129, 326392249, 652784471, 1305568919, 2611137817, 5222275627, 10444551233, 20889102457, 41778204911, 83556409789, 167112819547, 334225639093, 668451278147, 1336902556279, 2673805112521, 5347610225021, 10695220450027, 21390440900033, 42780881800057, 85561763600057, 171123527200081, 342247054400159, 684494108800091

 

Rang du nombre premier suivant (ex. 23, 29, 31, 37, 41, 43 Le nombre 43 est au rang 5 par rapport à 23. Liste pour les 27 plus petits:

1, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 15, 28, 49, 90, 163, 302, 559, 1025, 1938, 3618, 6818, 12876, 24403, 46350, 88204, 168503, 321996, 617371, 1185025, 2278003, …

 

Liste des premiers entourant les puissances de 2 de 2 à 25

 

En rose:

2k – 1  est premier

 

[premier avant, puissance de 2, premier après]

[3, 4, 5], [7, 8, 11], [13, 16, 17], [31, 32, 37], [61, 64, 67], [127, 128, 131], [251, 256, 257], [509, 512, 521], [1021, 1024, 1031], [2039, 2048, 2053], [4093, 4096, 4099], [8191, 8192, 8209], [16381, 16384, 16411], [32749, 32768, 32771], [65521, 65536, 65537], [131071, 131072, 131101], [262139, 262144, 262147], [524287, 524288, 524309], [1048573, 1048576, 1048583], [2097143, 2097152, 2097169], [4194301, 4194304, 4194319], [8388593, 8388608, 8388617], [16777213, 16777216, 16777259], [33554393, 33554432, 33554467]

 

Même liste avec écart par rapport à la puissance de 2

[1, 4, 2], [1, 8, 4], [3, 16, 4], [1, 32, 6], [3, 64, 6], [1, 128, 4], [5, 256, 6], [3, 512, 12], [3, 1024, 10], [9, 2048, 14], [3, 4096, 6], [1, 8192, 18], [3, 16384, 30], [19, 32768, 22], [15, 65536, 16], [1, 131072, 30], [5, 262144, 8], [1, 524288, 22], [3, 1048576, 10], [9, 2097152, 26], [3, 4194304, 18], [15, 8388608, 24], [3, 16777216, 46], [39, 33554432, 74]

 

 

Généralisation en matrice

 

La suite des nombres de Bertrand étant établie, le plus petit nombre premier manquant (11) est utilisé pour relancer une nouvelle liste sur le même principe. Puis, le procédé est répété avec le nouveau premier manquant (17). Etc.

 

Matrice couvrant tous les premiers jusqu'à 100

 

 

Programmation Maple

 

But

Créer la liste des nombres de Bertrand

 

Commentaires

Initialisation du premier nombre de Bertrand: b = 2 et introduction dans la liste L.

Boucle de k itérations (ici: 5)

Calcul du nombre premier précédent 2b. Il est rangé dans la liste L.

La prochaine itération fait le même calcul avec la nouvelle valeur de b.

  

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Suite

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Sites

*           Postulat de Bertrand – Wikipédia

*           Bertrand's Postulate – Wolfram MathWorld

*           OEIS A006992 – Bertrand primes: a(n) is largest prime < 2*a(n-1) for n > 1, with a(1) = 2

*         OEIS A229607 - Array:  each row starts with the least prime not in a previous row, and each prime p in a row is followed by the greatest prime < 2*p

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