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Édition du: 07/12/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Géométrie Polygones Carré	QUADRILATÈRES
	Quadrilatère	Aire du carré	Formulaire
	Bi-médianes	Constructions	Aire du carré
	Aires et diagonales	Aire et segments

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Quadrilatère convexe Produits croisés des aires avec les diagonales Les diagonales d'un quadrilatère convexe découpent celui-ci en quatre triangles. Aires: A, B, C et D dans cet ordre. Les produits des aires des triangles opposés sont égaux: AC = BD. La démonstration n'est pas compliquée si on a l'idée d'un construction adéquate.
	Sommaire de cette page >>> Propriété >>> Démonstration >>> Démonstration rapide par l'aire des triangles	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Propriété		haut
Construction Un quadrilatère convexe quelconque ABCD. Ses deux diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles. Produit croisé des aires 23,7838 × 13,7838 = 327,83 20,2162 × 16,2162 = 327.83 Égalité ! Cette égalité est toujours vérifiée. Note: les segments roses représentent le produit des aires divisé par 100.

Voir Application au trapèze / Défi des cinq triangles dans le triangle

Démonstration		haut
L'intuition consiste à dessiner les parallèles aux diagonales passant par les sommets, créant le quadrilatère PQRS dont l'aire est notée S. Ce nouveau quadrilatère est un parallélogramme. Il est divisé en d'autres parallélogrammes dont les aires sont proportionnelles aux longueurs correspondantes des diagonales. On calcule les aires des sous-parallélogrammes en fonction de l'aire S. L'aire de chacun des triangles colorés est la moitié de celle du parallélogramme qui le couvre.
Ce qui prouve l'égalité du théorème.

Conséquence pour le parallélogramme

Dans un parallélogramme, deux sécantes parallèles aux côtés découpent celui-ci en quatre sous-parallélogrammes dont le produit croisé des aires est constant.

Ce qui se lit immédiatement sur la figure.

Voir Parallélogramme divisé

Démonstration rapide par l'aire des triangles		haut
Démonstration Commentaires Cette démonstration est beaucoup plus rapide que celle présentée ci-dessus. Communiquée par Michel Soussan qui la tient de Jérôme Frossard. Merci à tous les deux.

Merci à Françoise J. pour l'idée de cette page

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