NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Aire

 

 

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Géométrie 

Quadrilatère

Aire du carré

Formulaire

Bi-médianes

 

Sommaire de cette page

 

>>> Énigme de la quatrième parcelle

>>> Formulation et calculs sur un exemple

 

 

 

 

 

AIRE des QUADRILATÈRES

formés par les bi-médianes

 

Calcul de l'aire des quatre quadrilatères formés par le partage du quadrilatère par les deux médianes (droites issues des milieux des côtés opposés).

Le but est de calculer les aires S, S1, S2, S3 et S4 en fonction des coordonnées des quatre sommets.

Occasion de résoudre une énigme qui consiste à calculer l'aire de la quatrième surface connaissant les trois autres.

 

Propriété

 

 

Énigme de la quatrième parcelle

 

Énigme

 

On donne un quadrilatère dont trois surfaces sont connues (en cm²) comme indiqué.

Les points E, F, G et H sont les milieux des côtés (EG et DF sont les médianes).

Trouvez la valeur de l'aire du quatrième quadrilatère (S2).

 

S1 + S3 = S2 + S3 = 128 + 140 = x + 95

x = 268 – 95 = 173 cm²

et S = 268 x 2 = 536 cm²

 

Voir Calcul des aires et des coordonnées

Merci à Ivan F pour m'avoir communiqué ce problème

 

 

 

Démonstration

 

Formule des aires avec les bi-médianes

 

Un quadrilatère convexe quelconque: ABCD.

Les deux médianes: EG et FH qui se coupent en M.

On partage chacun des quatre quadrilatères ainsi formés en deux triangles.

 

 

Les triangles AMH  et HMB (T1 et T1') ont un côté de même longueur (AH = HB) et une hauteur commune (issue de M, non représentée); ils ont même aire. On écrit en abrégé: T1 = T1'

De même pour les autres. Les couples d'égalité sont mentionnées en vert.

 

 

 

  S1 + S3 = S2 + S4

 

 

 

 

Travaux pratiques sur le calcul de l'aire du quadrilatère

 

 

Formulation et calculs sur un exemple

 

Exemple de quadrilatère

Le quadrilatère convexe quelconque ABCD.

Ses médianes EG et FG dont les extrémités partagent les cotés en deux parties égales.

Les coordonnées des points sont renseignées avec le carreau pour unité.

Les aires sont évaluées en comptant la quantité de carreaux couverts.

Notez en passant que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme; ses côtés sont parallèles, deux à deux, aux diagonales AC et BD du quadrilatère initial. Voir Quadrilatère et médianes

 

Formule de l'aire du quadrilatère appliquée aux cinq surfaces

 

 

Application numérique

Pour le calcul des différences, on prend la valeur du plus grand moins le plus petit (autrement dit, la valeur absolue).

Observez que les cinq valeurs sont très proches de celles estimées avec la quantité de carreaux.

Une autre découverte, bien plus intéressante, peut être faite:

 

S1 + S3 = 47,625 + 48,875 = 96,5 = 193 / 2 = S / 2

S2 + S4 = 63,875 + 32,625 = 96,5 = 193 / 2 = S / 2

 

 

 

 

Énigme – Solution

 

 

Énigme de la quatrième parcelle

 

Énigme

 

On donne un quadrilatère dont trois surfaces sont connues (en cm²) comme indiqué.

Les points E, F, G et H sont les milieux des côtés (EG et DF sont les médianes).

 

Trouvez la valeur de l'aire du quatrième quadrilatère (S2) ainsi que les paramètres du quadrilatère.

 

 

Solution

On reprend l'analyse avec coordonnées cartésiennes vue ci-dessus.

Sans perdre en généralité, on appuie le quadrilatère sur les axes: Ax = 0 et By = 0.

Reste six coordonnées sur huit à trouver avec seulement trois valeurs connues. Ce qui conduirait à un système de trois équations pour six inconnues. Cependant, les deux médianes apportent des informations complémentaires. Les parcelles ont des demi-médianes en commun.

 

Nous savons que la solution est S2 = 173 cm².

La figure montre les sommets et les points milieux avec leurs coordonnées, trouvées par exploration des solutions possibles (utilisation des formules vues ci-dessus et calcul sur tableur ou avec Maple).

  

 

Calcul de vérification

 

 

Bilan

L'énigme de la quatrième parcelle est résolue. Elle fut l'occasion, en bonus, de pratiquer le calcul de l'aire des quadrilatères quelconques.

 

 

 

 

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