NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Points centraux du quadrilatère

>>> Centre géométrique du  quadrilatère

>>> Centre de gravité

>>> Calcul des coordonnées de ces points

 

 

 

 

QUADRILATÈRE et ses MILIEUX

 

Construction des "points milieux" du quadilatère:

centre géométrique et centres de gravité (CG).

 

Ne pas confondre ces deux points !

 

Anglais: Center of quadrilateral / Quadrilateral centroid

 

 

Points centraux du quadrilatère

Centres de gravité (CG) du quadrilatère quelconque

 

 

Il en existe trois qui, en général, ne sont pas confondus:

 

1.    CG: Cas classique en considérant toute la surface homogène: centre de gravité (de la surface).

2.    CG-côtés: Cas d'un objet vide avec matérialisation seulement des quatre arêtes: centre de gravité des côtés.

3.    CG-sommets: Cas d'un objet immatériels avec seulement des masses égales aux quatre sommets: centre de gravité des sommets. CG-sommets et CG-côtés sont confondus.
 

Trois points caractéristiques du quadrilatère:

 

NOIR: intersection des diagonales

 

VERT: intersection des médianes du quadrilatère: centre géométrique et CG des sommets,
et intersection des médianes du parallélogramme bleu: CG des côtés.

 

ROUGE: Centre de gravité du quadrilatère (CG de la surface) Construction en rouge, détaillée ci-dessous.

 

 

Centre géométrique du  quadrilatère

CG des sommets et CG des côtés

 

Centre M du quadrilatère

 

C'est le point de concours des médianes (vert).

 

C'est aussi le milieu du segment qui réunit les milieux des diagonales (rose).

 

C'est le centre de gravité d'un objet vide ayant des masses égales déposées aux sommets.

 

C'est aussi le centre de gravité des côtés considérés comme des "tubes" de masse homogène.

 

 

Rappel: le centre de gravité de quatre points de masses égales (A, B, C et D) est situé à l'intersection de segments réunissant les points milieux (E, F, G et H) deux à deux (M).

Concernant les côtés

 

Le CG du "tube" AB se trouve en E, milieu AB. Idem pour les autres côtés.

Le CG des quatre points E, F, G et H, formant un parallélogramme, se trouve sur l'intersection de segments EG et FH, qui est aussi le point M.

 

 

But

Construire le centre M d'un quadrilatère quelconque.

 

Construction 1 (vert)

1.    Points milieux des côtés.

2.    Rejoindre deux à deux.

3.    Intersection =  point milieu du quadrilatère.

 

Construction 2 (rose)

1.    Diagonales.

2.    Leur point milieu.

3.    Segment joignant ces points milieux.

4.    Le milieu de ce segment est le point milieu du quadrilatère.

 

Construction minimale (figure du bas)

1.    Points milieux de deux côtés opposés.

2.    Segment les rejoignant.

3.    Le milieu de ce segment est le point milieu du quadrilatère.

 

 

 

 

 

 

Centre de gravité (de la surface)

Construction à partir des centres de gravité des quatre triangles: ABC, ACD, ABD et BCD.

 

 

Centres de gravité X et Y d'une paire de triangles (ABC et ACD).

Centres de gravité V et W de l'autre paire de triangles (ABD et BCD).

 

Centre de gravité CG du quadrilatère: point d'intersection des segments XY et VW.

 

Note: en général, CG n'est pas le milieu M du quadrilatère.

 

 

Calcul des coordonnées

Rouge: G, centre de gravité

 

Bleu: M, centre géométrique

 

 

Centre géométrique de k points

 

 

Exemple

xM = (0 + 10 + 20 + 2)  / 4 = 32 / 4 = 8

yM = (0 + 0 + 6 + 14) / 4 = 20 / 4 = 5

 

 

Centre de gravité de k points

 

Avec A, l'aire du quadrilatère.

 

Exemple

X = [0, 10, 20, 2]  et  Y = [0, 0, 6, 14]

A = 20x14 – 1/2 (10x6 + 2x14 + 18x8) = 280 – 116 = 164

 

Calcul des coordonnées

Retour  Centre de gravité de formes usuelles

 

 

 

 

Suite

*    Aires des quadrilatères formés par les bi-médianes

*    Énigme de la quatrième parcelle

*    Énigme des huit parcelles

*    Trois cercles et triangles équilatéraux

Voir

*      Allumettes

*      Carré

*      Construction à la règle et au compas

*      Découpe du rectangle en carré

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*      Énigmes classiques

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*      Huit points (théorèmes des - )

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*      Les trois filles

*      Pliages

*      Quantité de carrés avec des allumettes

*      Rectangle

Site

*    The Centroid of the Quadrilateral – Mike Patterson

*    On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral – Alexei Myakishev

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Carre/QuadCons.htm