NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

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Index

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SANGAKUS

Deux cercles – Triangle

Introduction

Inscrit (suite)

Jumeaux

Deux cercles – Carré

Puissance

Circonscrit

Trois cercles – Construction 

Exinscrits

Quatre cercles – Construction 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – Deux cercles

>>> Sa construction

>>> Propriétés

>>> Approche – Un cercle

>>> Sa construction

 

 

 

 

Cercles jumeaux d'Archimède

 

Problème de construction géométrique type Sangaku sur la base de l'arbelos.

Comment construire la figure et calculer les proportions ?

 

Voir  Archimède

 

 

Approche – Deux cercles

 

Un dessin de Sangaku

Deux demi-cercles dans un grand demi-cercle (arbelos). Le but: construire deux cercles tangents à deux des demi-cercles et à la perpendiculaire en rouge.

Avec a et b les rayons des deux demi-cercles (verts), le rayon de chacun de ces cercles (bleu) est:

 

 

Construction

Première étape

Les trois demi-cercles.

Perpendiculaires à AB en C, P et D.

Intersections E et F

Segments CF et ED; intersection G

Cercle (P, PG)

 

Ce cercle va servir de gabarit pour la suite. Sa taille est celle des cercles jumeaux.

Deuxième étape

Intersection du cercle avec AB en H et I.

Perpendiculaires à AB en H et I.

Cercles (C, CI) et cercle (D, DH).

Intersections J et L.

Perpendiculaires JK et ML.

Cercles (J, JK) et (L, LM).

Construction GeoGebra

Voir Outils informatiques / Construction règle et compas

 

 

Propriétés

 

Relations

 

 

Voir Construction de racine de ab

 

Démonstration (figure du bas)

Avec JH = h;
HP = r est le rayon des cercles bleus.

 

Dans le triangle JHC:

h² = (a + r)² – (a – r)² = 4ar

 

Dans le triangle JHO:
HO = HP + PB – BO
       = r + 2b – (2a + 2b) / 2 = r + b – a
JO = RO – RJ = a + b – r

h² = (r + b – a)² – (a + b – r )² = 4ba – 4br

 

Égalité en h²:   ar = ba – br

 

 

 

Approche – Un seul cercle

 

Un dessin de Sangaku

Deux demi-cercles (verts) dans un demi-cercle (arbelos). Le but: construire un cercle (bleu) tangent aux trois demi-cercles.

Avec a et b les rayons des deux demi-cercles (verts), le rayon de chacun de ces cercles (bleu) est:

 

 

Construction

Les trois demi-cercles.

Construction du point G comme ci-dessus.

Cercle (G, GP).

Tangentes CO et DO à ce cercle.

Point de tangence T (construit avec la perpendiculaire en G à OC).

Intersection des deux tangentes en O.

Cercle (O, OT).

 

 

 

 

 

Suite

*    Sangakus – Autres constructions géométriques

*    Arbelos

*    Carré et deux cercles tangents

*    Cercle inscrit

*    Chaine de Pappus

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

*    Quatre cercles

*    Rayon du cercle circonscrit

*    Sangakus

Voir

*    Bissectrices

*    CercleIndex

*    Cercles et triangles

*    Cône

*    Diamètre

*    GéométrieVocabulaire

*    Périmètre

*    Sphère

Site

*      Cercles d'Archimède – Wikipédia

*      L'arbelos – Hamza Khelif – CNRS

*      Une étude de l'arbelos – Baptiste GORIN

*       Revisiting Geometric Construction using Geogebra – ResearchGate

*       Œuvres d'Archimède – Traduction de F. Peyrard, numérisée par Marc Szwajcer

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Jumeaux.htm