NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/09/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche – Deux cercles >>> Sa construction >>> Propriétés >>> Approche – Un cercle >>> Sa construction

Cercles jumeaux d'Archimède

Problème de construction géométrique type Sangaku sur la base de l'arbelos.

Comment construire la figure et calculer les proportions ?

Voir Archimède

Approche – Deux cercles
Un dessin de Sangaku Deux demi-cercles dans un grand demi-cercle (arbelos). Le but: construire deux cercles tangents à deux des demi-cercles et à la perpendiculaire en rouge. Avec a et b les rayons des deux demi-cercles (verts), le rayon de chacun de ces cercles (bleu) est:

Voir Autre démonstration de cette relation

Construction
Première étape Les trois demi-cercles. Perpendiculaires à AB en C, P et D. Intersections E et F Segments CF et ED; intersection G Cercle (P, PG) Ce cercle va servir de gabarit pour la suite. Sa taille est celle des cercles jumeaux.
Deuxième étape Intersection du cercle avec AB en H et I. Perpendiculaires à AB en H et I. Cercles (C, CI) et cercle (D, DH). Intersections J et L. Perpendiculaires JK et ML. Cercles (J, JK) et (L, LM).
Construction GeoGebra

Voir Outils informatiques / Construction règle et compas

Propriétés
Relations Voir Construction de racine de ab Démonstration (figure du bas) Avec JH = h; HP = r est le rayon des cercles bleus. Dans le triangle JHC: h² = (a + r)² – (a – r)² = 4ar Dans le triangle JHO: HO = HP + PB – BO = r + 2b – (2a + 2b) / 2 = r + b – a JO = RO – RJ = a + b – r h² = (a + b – r )² – (r + b – a)² = 4ba – 4br Égalité en h²: ar = ba – br

Approche – Un seul cercle
Un dessin de Sangaku Deux demi-cercles (verts) dans un demi-cercle (arbelos). Le but: construire un cercle (bleu) tangent aux trois demi-cercles. Avec a et b les rayons des deux demi-cercles (verts), le rayon de chacun de ces cercles (bleu) est:

Construction
Les trois demi-cercles. Construction du point G comme ci-dessus. Cercle (G, GP). Tangentes CO et DO à ce cercle. Point de tangence T (construit avec la perpendiculaire en G à OC). Intersection des deux tangentes en O. Cercle (O, OT).

Suite	Sangakus – Autres constructions géométriques Arbelos Carré et deux cercles tangents Cercle inscrit Chaine de Pappus Cinq cercles – Autre démonstration de la relation présentée sur cette page Puissance d'un point par rapport à un cercle Quatre cercles Rayon du cercle circonscrit Sangakus
Voir	Bissectrices Cercle – Index Cercles et triangles Cône Diamètre Géométrie – Vocabulaire Périmètre Sphère
Site	Cercles d'Archimède – Wikipédia L'arbelos – Hamza Khelif – CNRS Une étude de l'arbelos – Baptiste GORIN Revisiting Geometric Construction using Geogebra – ResearchGate Œuvres d'Archimède – Traduction de F. Peyrard, numérisée par Marc Szwajcer
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Jumeaux.htm