NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/12/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Énigme simple >>> Mise en bouche – Énigme >>> Approche >>> Construction – Deux cercles et une droite tangente >>> Relation entre les rayons

Trois cercles tangents

sur une droite

Problème de construction géométrique type Sangaku.

Comment construire cette figure classique et calculer les proportions ?

Trois cercles tangents deux à deux

Voir Brève 50-993 pour solution

Énigme simple
Problème Trois cercles disposés dans un carré. Valeur du rapport entre les rayons (x / y) pour assurer les tangences indiquées ? Solution Le côté du carré vaut quatre fois le rayon des petits cercles. Dessiner le triangle rectangle vert dont on connait les trois côtés et appliquer le théorème de Pythagore.	Les trois cercles dans le carré Notations

Mise en bouche – Énigme
Problème Trois cercles dont le central tangent aux deux autres, et tous les trois sont tangents au rectangle. Quelle est la longueur du segment AB ?
Solution Avec le théorème de Pythagore: La somme:

Voir Brève 681

Approche
Voici la figure que nous allons étudier. D'abord la construire géométriquement. Ensuite, nous allons montrer que:

Voir Moyenne harmonique

Construction – Deux cercles et une droite tangente
Il s'agit de construire la droite ED tangente aux deux cercles (bleu et vert). Construction Tracer le segment AB de longueur R + r Cercle (A, r) et Cercle (B, R) Cercle en B de rayon r Tangente à ce cercle pointillé depuis A. Perpendiculaire en B à cette tangente qui détermine le point de tangence C et l'intersection D avec le cercle vert. Parallèle en A à BC; intersection en E avec le cercle bleu. La droite ED est la tangente au deux cercles.	Tracé de la tangente (rouge) à l'aide de la duplication du petit cercle (bleu) au centre du grand (vert).

Construction – Sangaku
Première étape Il s'agit de construire la droite FH. Construction Cercle (E, r) pour construire le point F. Cercle (D, R) pour construire le point G. Perpendiculaire en G à ED. Parallèle en G à ED; détermine le point H. La droite FH est la droite cherchée. Le point I est l'intersection de FH et AE.
Deuxième étape Il s'agit de construire le petit cercle rouge. Construction Cercle (E, EI); intersection J Cercle (A, AJ); Parallèle IK à ED; intersection K Cercle (K, EI); c'est le cercle rouge.

Relation entre les rayons
Distance entre centres des cercles en fonction des rayons. Les rayons sont notés a, b et k.	ED² = (b + a)² – (b – a)² = 4ab EL² = (a + k)² – (a – k)² = 4ak LD² = (b + k)² – (b – k)² = 4bk
Loi des cosinus dans le triangle dégénéré ELD avec cosinus (0°) = 1.	ED² = EL² + LD² + 2 EL·LD· cos(0)
En rapprochant:
En divisant par abk:
En prenant la racine carrée:

Merci à Dominique Brault pout l'idée de cette page

Suite	Sangakus – Autres constructions géométriques Arbelos Carré et deux cercles tangents Cercle inscrit Chaine de Pappus Puissance d'un point par rapport à un cercle Quatre cercles Rayon du cercle circonscrit Sangakus
Voir	Bissectrices Cercle – Index Cercles et triangles Cône Diamètre Géométrie – Vocabulaire Périmètre Sphère
Site	Le Sangaku, une énigme japonaise de géométrie euclidienne – RTS Revisiting Geometric Construction using Geogebra – Haftamu Menker Gebreyohannes
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/TroisCer.htm