NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Construction – Deux cercles et une droite tangente

>>> Relation entre les rayons

 

 

 

Trois cercles tangents

sur une droite

 

Problème de construction géométrique type Sangaku.

Comment construire cette figure classique et calculer les proportions ?

 

 

Approche

Voici la figure que nous allons étudier.

D'abord la construire géométriquement.

 

Ensuite, nous allons montrer que:

 

Voir Moyenne harmonique

 

Construction – Deux cercles et une droite tangente

 

Il s'agit de construire la droite ED tangente aux deux cercles (bleu et vert).

 

Construction

Tracer le segment AB de longueur R + r

Cercle (A, r) et Cercle (B, R)

Cercle en B de rayon r

Tangente à ce cercle pointillé depuis A.

Perpendiculaire en B à cette tangente qui détermine le point de tangence C et l'intersection D avec le cercle vert.

Parallèle en A à BC; intersection en E avec le cercle bleu.

La droite ED est la tangente au deux cercles.

 

Tracé de la tangente (rouge) à l'aide de la duplication du petit cercle (bleu) au centre du grand (vert).

 

Construction – Sangaku

Première étape

Il s'agit de construire la droite FH.

 

Construction

Cercle (E, r) pour construire le point F.

Cercle (D, R) pour construire le point G.

Perpendiculaire en G à ED.

Parallèle en G à ED; détermine le point H.

La droite FH est la droite cherchée.

Le point I est l'intersection de FH et AE.

Deuxième étape

Il s'agit de construire le petit cercle rouge.

 

Construction

Cercle (E, EI); intersection J

Cercle (A, AJ);

Parallèle IK à ED; intersection K

Cercle (K, EI); c'est le cercle rouge.

 

 

 

 

Relation entre les rayons

Distance entre centres des cercles en fonction des rayons.

Les rayons sont notés a, b et k.

 

ED² =  (b + a)² – (b – a)² = 4ab

EL² =  (a + k)² – (a – k)² = 4ak

LD² =  (b + k)² – (b – k)² = 4bk

Loi des cosinus dans le triangle dégénéré ELD avec cosinus (0°) = 1.

ED² = EL² + LD² + 2 EL·LD· cos(0)

En rapprochant:

En divisant par abk:

En prenant la racine carrée:

 

Merci à Dominique Brault pout l'idée de cette page

 

 

 

Suite

*    Sangakus – Autres constructions géométriques

*    Arbelos

*    Carré et deux cercles tangents

*    Cercle inscrit

*    Chaine de Pappus

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

*    Quatre cercles

*    Rayon du cercle circonscrit

*    Sangakus

Voir

*    Bissectrices

*    CercleIndex

*    Cercles et triangles

*    Cône

*    Diamètre

*    GéométrieVocabulaire

*    Périmètre

*    Sphère

Site

*      Le Sangaku, une énigme japonaise de géométrie euclidienne – RTS

*      Revisiting Geometric Construction using Geogebra – Haftamu Menker Gebreyohannes

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/TroisCer.htm