NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

Débutants

Géométrie

CERCLES INSCRITS …

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Triangles

 

Index

Inscrit

SANGAKUS

Deux cercles – Triangle

Introduction

Inscrit (suite)

Jumeaux

Deux cercles – Carré

Puissance

Circonscrit

Trois cercles – Construction 

Exinscrits

Quatre cercles – Construction 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Construction

>>> Propriétés

 

 

 

Quatre cercles

inscrits dans un triangle équilatéral

 

Problème de construction géométrique type Sangaku.

Comment construire la figure et calculer les proportions ?

 

 

 

Approche

Un dessin de Sangaku

Le triangle équilatéral est découpé en quatre triangles tels que les cercles qui y sont inscrit sont identiques.

 

Si le coté triangle vaut c, alors le rayon de chaque cercle est égal à:

 

Voir ce nombre

 

Construction

Construction des triangles internes

 

Un triangle équilatéral ABC.

Le milieu M d'un des côtés.

Perpendiculaire en M à AB

Cercle (A, AB)

Intersection D

La droite AD supporte l'un des côtés des triangles internes.

 

Le même procédé permet de tracer les deux autres droites

 

 

 

Construction des cercles

 

Pour trouver le centre de chaque cercle, construire les bissectrices des angles.

Noter le centre 0 et un point d'intersection P

Tracer le cercle (O, OP).

 

Opération à répéter pour les quatre triangles.

Construction avec GeoGebra

 

Voir Outils informatiques / Construction règle et compas

 

 

Propriétés

Les centres des trois cercles forment un triangle équilatéral (marron) dont le centre du quatrième est le centre (points de concours des droites remarquables).
La longueur du côté vaut 4r (quatre fois le rayon des cercles).

 

Le triangle (vert) formé par les droites internes est un triangle équilatéral de même centre.

Le point de tangence d'un des trois cercles se trouve également sur le triangle marron.

 

Le calcul du rayon n'est pas immédiat. Plusieurs solutions sont proposées par Alexander Bolgolmy.

 

 

 

 

Suite

*    Arbelos

*    Carré et deux cercles tangents

*    Cercle inscrit

*    Chaine de Pappus

*    Puissance d'un point par rapport à un cercle

*    Rayon du cercle circonscrit

*    Sangakus

Voir

*    Bissectrices

*    CercleIndex

*    Cercles et triangles

*    Cône

*    Diamètre

*    GéométrieVocabulaire

*    Périmètre

*    Sphère

Site

*       Four Incircles in an Equilateral Triangle, a Sangaku – Cut-The-Knot

*       Revisiting Geometric Construction using Geogebra – ResearchGate

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/QuatCerc.htm