Hexagone équiangle

Édition du: 24/11/2023

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HEXAGONE

convexe équiangle

Hexagone équiangle: hexagone dont tous les angles sont égaux à 120°.
Il peut être équilatéral (ou régulier) mais ce n'est pas obligatoire.

Sommaire de cette page

>>> Énigme de l'hexagone équiangle

>>> Propriétés

>>> Exemple de résolution

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Énigme de l'hexagone équiangle		haut
Énigme On donne cet hexagone dont tous les angles sont égaux. Avec les seules dimensions indiquées, est-il possible de calculer l'aire de l'hexagone ? Angles La somme des angles de l'hexagone convexe est égale à celle de quatre triangles: 4 × 180° = 720°. La valeur de chacun: 720° / 6 = 120° Piste En prolongeant les côté de l'hexagone on forme un triangle équilatéral (illustration). En effet l'angle supplémentaire de 120° vaut 60°. Et, un triangle avec deux angles de 60° est équilatéral.
Les triangles équilatéraux Avec tous les prolongements des côtés, trois triangles équilatéraux sont formés (bleus). Les angles en A, B et C sont égaux à 60°. Le grand triangle ABC est lui-même équilatéral et AB = BC = CA = L.
Calculs des côtés On pose les trois égalités donnant la valeur de L. On note que: a = 3. Notez la disposition dans le tableau facilitant la résolution du système d'équations. Par exemple, la 4^e ligne est la soustraction des lignes 2 et 3.	Calculs de l'aire de l'hexagone Voir Aire du triangle équilatéral

Bilan – Propriétés

Un hexagone convexe équiangle est inscrit dans un triangle équilatéral.

Ses angles internes valent 120°.

Les côtés opposés sont parallèles.

Les trois parties complémentaires sont aussi des triangles équilatéraux.

Quatre longueurs suffisent à caractériser l'hexagone équiangle.

Relations:
a + b = d + e
b + c = e + f
c + d = f + a

Deux façons de dessiner le triangle équilatéral

L_BLEU = 14 + 6 + 10 = 30 = f + a + b = b + c + d = d + e + f

L_ROSE = 6 + 10 + 11 = 27 = a + b + c = c + d + e = e + f + a

L'hexagone convexe équiangle peut être pavé par des triangles équilatéraux.

Voir Autres exemples

Exemple de résolution

haut

Énigme

Un hexagone équiangle avec pour côtés:
AB = CD = EF = 1
BC = DE = FA = x

Quelles sont les valeurs possibles de x ?

On donne: aire du triangle vert = 70% de l'aire de l'hexagone.

Piste (Figure du bas)

Deux temps:

Calcul de l'aire du triangle vert en fonction de x.

Calcul de l'aire du triangle équilatéral circonscrit à l'hexagone.

Aire du triangle vert

Dans le triangle ACE, les angles en A, C et E sont égaux et le triangle ACE est donc équilatéral.

Dans ABC, la loi des cosinus donne:
AC² = x² + 1² – 2x cos 120° = x² + x + 1
En sachant que: cos 120° = – 1/2

Aire du triangle ACE:

Aire du triangle équilatéral

En prolongeant les côtés, le grand triangle équilatéral a un côté égal à x + 2, et les trois petits un côté égal à 1.

Aire de l'hexagone:

Relation (70%)

Aire triangle vert = 70% aire hexagone:

Racines

Note sur le 70%

La proportion exacte est:

L'énoncé donne R = 0,7. Avec un autre ratio la valeur de x serait évidemment différente.

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Sites	Polygone équiangle – Wikipédia Some notes on tessellations of equiangular hexagons – Dave Barber 2010 AMC 12A Problems/Problem 17 – AoPS OnLine (Art of Problem Solving)
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/HexaEqui.htm