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Édition du: 23/10/2021

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Triangle

Géométrie

Triangles entiers

Triangles

Entiers

Pythagore

Même aire

Isiaque

Héron

Congruents

Entier équilatéral

Fibonacci

 

 

Triangle équilatéral entier

à distances internes entières

 

Comment trouver un point interne au triangle équilatéral tel que les distances de ce point aux sommets soient des nombres entiers ?

Pas simple, du moins il a fallu un peu d'astuce géométrique pour arriver à la solution: une rotation appropriée.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Triangles ENTIERS et distances entières

>>> Distances entières à un point interne

>>> Triangle équilatéral entier et distances entières à un point interne

>>> Recherche paramétriques

 

Débutants

Triangle

 

Glossaire

Triangle

 

 

Triangles ENTIERS et distances entières

haut

 

Approche

Les triangles équilatéraux de côté t, avec t un entier, sont des triangles entiers.

Trop commun! Oui, alors …

On cherche plutôt des distances entières dans le triangle équilatéral:

 

Par exemple: trouver un point interne (D) tel que la distance de ce point aux sommets soient des nombres entiers.

 

Il existe une infinité de ces triangles, même si leur recherche est difficile.

Celui de cette figure est la plus petite solution.

   

 

 

Exemple de triangle équilatéral entier

à distances internes entières

Héronien ?

Jamais

 

Pour être héronien, le triangle équilatéral doit avoir des côtés entiers et une aire entière.

Or, l'aire du triangle équilatéral est égale à:

Si c est un nombre entier, l'aire est nécessairement irrationnelle.

  

 

 

 

Distances entières à un point interne

haut

 

Triangle équilatéral avec points entiers

On cherche le côté (entier ou non) d'un triangle équilatéral dont un point interne est éloigné de 3, 4 et 5 des sommets. En l'occurrence trois nombres entiers.

 

Calcul avec (3, 4, 5)

Astuce!  En fait, la puce à l'oreille est la présence des trois nombres (3, 4, 5) qui font penser à un triplet de Pythagore.

On procède à une rotation négative (-60°) de la figure autour de B qui produit l'image du triangle en bleu.

 

L'angle DBD' est égal à l'angle ABC, soit 60°. Le triangle BDD' a un angle de 60° et deux côtés égaux (DB et D'B'), il est équilatéral et DD' = 3.

Le triangle CDD' (3, 4, 5) est un triangle de Pythagore et l'angle CD'D est droit.

Alors, l'angle CD'B = 90 + 60 = 150°.

 

Dans le triangle CD'B, on applique la loi des cosinus:
CB² = t² = 3² + 4² – 2 × 3 × 4 × cos150°
 
 

   

 

Cas général avec (a, b, c)

Notez que le triangle BDD' est toujours équilatéral (60° en B et BD = B'D' = c); conséquence: DD' = c.

Même principe de calcul que ci-dessus, en constatant au départ que:
(


Formule finale (calcul ci-dessous):

  

 

Triangle équilatéral avec P(3, 4, 5)

 

Triangle initial ABC et rotation (A'B'C') de - 60°

 

Cas général

 

Calcul de la formule

 

Triangle équilatéral entier et distances entières à un point interne

haut

 

Méthode

Nous disposons d'une formule qui, à partir de trois distances entières (a, b, c) permet de calculer le côté (t) du triangle équilatéral.

Pour trouver, des longueurs de côté en nombres entiers, une exploration systématique par programmation est nécessaire.

 

Premier résultats

La figure montre les deux premières solutions (7, 5, 3 donne t = 8   &   8, 5, 3 avec t = 7)

Deux cas non recevables pour cause de point D sur le périmètre et point D externe.

Le tableau indique les quelques résultats suivants.

 

 

 

 

 

Conditions sur les distances

L'exploration est poursuivie en imposant que

*      chaque côté < t

*      somme de deux côtés > t

 

La figure montre les deux premières solutions (57, 65, 73 et t = 112  &   73, 88, 95 et t = 147 (solutions avec côté les plus petits).

 

Le tableau indique les quelques résultats suivants pour a, b et c jusqu'à 500.

 

43, 147, 152, 185

43, 248, 285, 287

49, 285, 296, 331

57, 65, 73, 112

73, 88, 95, 147

86, 294, 304, 370

95, 312, 343, 403

97, 185, 208, 273

111, 221, 280, 331

114, 130, 146, 224

127, 168, 205, 283

129, 441, 456, 555

146, 176, 190, 294

147, 377, 437, 520

152, 343, 387, 485

152, 365, 497, 507

171, 195, 219, 336

194, 370, 416, 546

219, 264, 285, 441

228, 260, 292, 448

247, 408, 485, 637

254, 336, 410, 566

255, 343, 473, 592

285, 325, 365, 560

285, 464, 469, 691

292, 352, 380, 588

296, 315, 361, 559

323, 392, 407, 645

342, 390, 438, 672

365, 440, 475, 735

 

Voir Brève 840

 

Recherche paramétriques

haut

 

Méthode

En 1999, Arnfried Kemnitz a trouvé une solution paramétrique produisant une infinité de solutions (mais pas toutes).

 

On se donne les paramètres u et v (u > v) et on calcule:

m  = 2(u² – v²)

n = u² + 4uv + v²

a = m² + n²

b = m² – mn + n²

c = m² + mn + n²

         On note que a = (b + c) / 2

t = 8(u² – v²) (u² + uv + v²)

 

(a, b, c) sont  les longueurs (verts)

(t) est la longueur du côté du triangle équilatéral

 

 

205, 127, 283, 168

740, 388, 1092, 832

1469, 1099, 1839, 760

1989, 999, 2979, 2520

3280, 2032, 4528, 2688

5525, 4503, 6547, 2072

4420, 2212, 6628, 5952

6525, 3627, 9423, 6552

9860, 6852, 12868, 6272

14965, 12787, 17143, 4392

 

 

 

 

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*      Triangle équilatéral

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Site

*      Perfect Rational Triangle – Epstein Junkyard – Randall

Livre

*      Aha! Solutions – Martin Erickson – Mathematical Association of America – 2009

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TrgequiE.htm