NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de la Physique

 

Débutants

Général

GRAVITATION

 

Glossaire

Gravitation

 

 

INDEX

 

Gravitation

 

Physique

 

Matière

Découverte

Relativité

Gravitation

Pesanteur

Historique

Ondes gravit.

Chute libre

Terre-Lune

 

Sommaire de cette page

>>> Gravité

>>> Rotation de la Terre

>>> Traversée de la Terre (train gravitationnel)

        >>> Historique

        >>> Calcul de la durée de traversée de la Terre

 

 

 

 

 

GRAVITATION

Découverte et curiosités

La traversée de la TERRE

Quelques notions amusantes sur l'effet de la gravitation universelle. Parmi elles, comment se comporte une balle lâchée dans un tunnel profond qui traverserait toute la Terre. Elle jouerait indéfiniment au yoyo à la manière d'un pendule.

Assez étrangement, la durée de traversée de la Terre serait de 42 minutes et quelques secondes, même sans passer par le centre de la Terre, et cela pour toutes sortes de balles ou d'objets, comme un train.  Un super-moyen de locomotion pour aller, par exemple, de France en Nouvelle-Calédonie en un temps record. Une belle idée mais irréalisable, bien sûr.

 

 

 

 

 

GRAVITÉ

 

Loi de la Gravité

Tous les objets, quelle que soit leur masse, lâchés de la même hauteur tombent par terre au même moment.
Dans la réalité, c’est la résistance de l’air qui les freine, chacun d’une manière différente.

Voir Pesanteur

 

Autre formulation

L’accélération d’un objet en chute libre, due à la pesanteur, est la même pour tous les objets.
Contrairement à ce qu’affirmait Aristote la vitesse de chute d’un objet ne dépend pas de sa masse.

 Voir Gravitation / Pesanteur

 

 

Expérience de Galilée

Tour de Pise par Galilée: il lâche trois balles d’acier de masses différentes du haut de la tour. Elles arrivent toutes les trois en même temps au sol.

 

Expérience de Robert Boyle

Il retire l’air d’un récipient contenant une balle d’acier et une plume. En renversant le récipient les deux objets atteignent l’autre côté en même temps.

 

Expérience de la pièce de monnaie

Prenez une pièce de monnaie (ou un morceau plat de métal). Une feuille de papier de même taille exactement (qui ne dépasse pas).
Placez le papier sur la pièce.
Laissez tomber horizontalement.
Les deux tombent à la même vitesse.

 

Si l’accélération avait été différente, le papier aurait été ralenti.
On peut faire bomber le papier sur la pièce pour mettre en évidence qu’il ne s’agit pas d’un effet de placage du papier sur la pièce par pression de l’air.

 

Expérience du pendule

Soit un pendule formé d’un fil et d’une masse.
On suppose le pendule dans le vide.

 

Si on allonge son fil, le pendule bat plus lentement.

Si on augmente la masse

RIEN NE CHANGE

 

 

 

 

Rotation de la Terre

 

La Terre tourne autour du Soleil

*      On pèse moins lourd à l’équateur qu’aux pôles. À l’équateur, la force centrifuge s’oppose (légèrement) à la gravité.

*      Un train qui se dirige vers le nord doit résister à la force centrifuge le déportant vers l’ouest. On peut mesurer la pression sur les rails. Cette force est maximum à l’équateur.

*      Lâchez une balle dans un puits de 100 m de profondeur. Sa déviation maximum est de 2,2 cm et cela se produit à l’équateur

 

 

Rotation de la Terre

Supposons que nous puissions augmenter la vitesse de rotation de la Terre à volonté. Nous sommes sur une balance à l’équateur. Que se passe-t-il ?

 

Réponse

Le poids diminue lorsque la Terre accélère.

À une certaine vitesse dite critique, la force centrifuge nécessaire pour nous conserver sur une trajectoire circulaire égale la force gravitationnelle de la Terre.
La force résultante est nulle. La balance indique zéro. Notre poids est nul !

 

 

L’homme géant

Un homme géant est placé sur l’équateur. Il est vraiment très géant, il mesure 72 000 km. Que se passe-t-il ?

 

Réponse

Son poids est nul ! Son centre de gravité est en orbite

 Voir Orbite géostationnaire

 

 

 

Traversée de la Terre

 

Expérience mentale du centre de la Terre

On creuse un trou de part en part de la Terre.
On lâche une balle en A.
Que se passe-t-il ?
On ignore les frottements et autres phénomènes relatifs à la faisabilité d’une telle expérience.

Tableau de progression

Position

Vitesse

Accélération

Durée

Masse

Poids

A

Nulle

Maximum

0

M

P

de A

au centre

Augmente

Décroît

M

décroît

au centre

Maximum

(8 km/s environ)

Nulle

21 min

M

0

du centre

vers B

Diminue

Croît

M

croît

en B

Nulle

Maximum

42 min

M

P

 

*      Et on repart pour un tour de B vers A, etc.
En fait, la balle va osciller comme un pendule. Et cela à jamais, si on ignore les frottements.

*      Au centre de la terre, l’attraction sur la balle est égale dans toutes les directions, le poids est nul.

*      En chute libre, la balle est toujours en apesanteur (gravité zéro).

*      La traversée de la Terre dure 42,2 minutes. Voir Calcul

*      Celle de la Lune serait de 53 minutes: la distance est plus courte (1/4) mais la gravité plus petite (1/6).

 

  

Liaison de ville à ville (train gravitationnel)

Sur le même principe on creuse un tunnel rectiligne entre les deux villes à relier. 

 

Le milieu O est plus près du centre C de la Terre que ne le sont les points A et B.

Le train, partant de A descend en accélérant vers O et remonte en décélérant vers B. Non seulement ça marche, mais le mouvement est perpétuel en ignorant les frictions.
Il faut 42,2 minutes pour aller de A vers B, quelle que soit la position des points, y compris si O se trouve au centre de la Terre, et quelle que soit la masse du véhicule.

 

Record de saut sur la Lune

La gravité sur la Lune est 6 fois moins forte que sur la Terre.

On y est six fois moins lourd.

Un objet lancé avec une même force, monte six fois plus haut. Je saute 2 m en hauteur sur la Terre. Quelle est ma performance sur la lune ? Non, pas 12 m ! Mais vous avez dit …

 

Réponse

En fait, il faut calculer le déplacement de mon centre de gravité. Mon centre de gravité se trouve à 1,2 m du sol.
Sur Terre je hisse mon centre de gravite de 2 – 1,2 = 0,8m
Sur la Lune, je serai capable de le hisser à 6 x 0,8 = 4,8 m
En levant les jambes comme sur Terre, je saute: 4,8 + 1,2 = 6 m

 

 

 

Tunnel terrestre – Historique

 

Au Moyen Âge l'idée de creuser un puits à travers la Terre existait déjà. Contrairement à l'idée de voler, celle-ci n'eut aucune suite.

 

En 1632, Galilée soutenait qu'un boulet de canon lancée dans un tunnel traversant la Terre aurait un mouvement harmonique simple, oscillant entre le côté de la Terre d'où elle a été lancée et son point de sortie de l'autre côté de la Terre.

 

Au XVIIe siècle, le scientifique britannique Robert Hooke écrit une lettre à Isaac Newton. Il a l'idée d'un objet accélérant à l'intérieur d'un tunnel dans la Terre ou une planète. Il avait calculé que le voyage à travers la Terre durerait moins de trois-quarts d'heures. Newton pensait qu'un ballon lancé par un tunnel percé à l'Équateur suivrait une trajectoire en spirale sous l'effet de la rotation de la Terre.

 

Newton montre que la force de gravitation à l'intérieur de la Terre est directement  proportionnelle  à  la  distance  au centre  de  la  Terre. Le voyageur arrivé  à  mi-distance  entre  la  surface  et  le  centre  ne  pèse  plus que la moitié de son poids habituel. Au centre, il ne pèse plus rien. >>>

 

En 1966, Paul Cooper publie un article dans the American Journal of Physics proposant un train gravitationnel comme moyen de transport futur. Ce texte suscite de nombreux commentaires, notamment sur l'allure de la trajectoire: linéaire ou brachistochrone.

 

Courbe brachistochrone: courbe dans un plan vertical sur laquelle un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés.

 

En 2004, Ivars Peterson relate les idées de Galilée et relance la réflexion sur cette curiosité du tunnel gravitationnel.

D'autres (dont Alexander Klotz) refont les calculs avec les moyens modernes et en tenant compte de la nature des couches de la Terre.

 

Faisabilité:Il est clair que cette idée est irréalisable, même à faible profondeur. Faisabilité physique, coût sans compter avec la force de déviation latérale de Coriolis qui ferait que le train heurterait les parois.

 

Rappels: coût du tunnel sous la Manche: 300 millions de dollars par kilomètre (15 milliards pour 37 km de voies (50,5 km au total) à 45 mètres sous terre).

La mine la plus profonde se trouve à 3,6 km à comparer au 6 371 km pour atteindre le centre de la Terre.

 

 

 

 

 

 

Tunnel gravitationnel – Calcul**

Tunnel gravitationnel: lâché de balle ou circulation d'un véhicule, d'un train.

 

Retour aux  explications

 

Données

 

*      Système d'axes centré sur le centre de la Terre.

*      x l'abscisse du train (réduit à un point).

*      r la distance du train au centre.

*      La composante en x de l'attraction agit pour déplacer le train sur MM'; la composante verticale est compensée par les rails.

 

Deux lois utiles (Newton):

*      Mr est la masse de la Terre sous le train, celle qui est plus proche du centre que le train (sphère marron).
En application de ces deux lois: seule cette masse attire le train; celle au-dessus n'a pas d'influence
.

La force de gravité pour une sphère homogène:

*      à l'extérieur: elle est la même que si la masse était concentrée au centre; et

*      à l'intérieur, elle est nulle.

 

 

Calcul

*    Action de la pesanteur (attraction universelle).

*    Masse sous le train avec  (ro) la densité de la Terre  (supposée constante).

*    Expression de la force:

*    Équation du mouvement (deuxième loi de Newton) sur la composante de la force d'attraction en x.
x'' est la dérivée seconde de la distance (la dérivée de la vitesse).

*    Finalement, en notant la disparition de r et de m.
Le mouvement d'aller-retour est indépendant de la masse du train et de la distance parcourue (MM').

*    Solution: oscillateur linéaire (pendule) de demi-période:

Données numériques

G = 6,67428 10-11  m3 kg-1 s-2  >>>

 = 5,517 g cm-3 = 5 517 kg m-3  >>>

R = 6 371 km

*    Calcul de la demi-période (durée de la traversée dans un sens):

*    En prenant la formule avec la pesanteur g = 9,81.

 

Vitesse et gravité

 

*    Vitesse maximale lors du passage au centre de la Terre

De l'ordre de trente fois la vitesse d'un avion en altitude de croisière.

*    Gravité le long de la trajectoire (Elle vaut environ 9,81 m/s² à la surface de la Terre).

d est la distance à partir du sol (d = R – r).

 

Pour d = 0, alors g = g0, la gravitation en surface (9,81 m/s²);

Pour d = R, alors g = 0;

Pour d = R/2, alors g = ½ g0.

Gravité le long d'un tunnel passant par le centre de la Terre avec graphe de g = f(r)

image055.jpg

Voir Courbe tenant compte de la densité non-homgène de la terre en Free-fall acceleration sur Wikipedia (Anglais)

 

Miniature

 

Effet de la densité

 

*    Notez bien que la période ne dépend ni de la masse ni de la distance parcourue.

 

Par compte, elle est fonction de la densité de la planète.

*    En tenant compte des couches de différentes densités (plus forte au centre de la Terre: 13 tonnes /m3, alors que la densité moyennes est de 5,5 t/m3), le temps de traversé varie de 42 minutes pour les trajets les plus courts à 38 minutes et 11 secondes pour les plus longs.

Tdensité moyenne  = 42,2 min

 

Tdensité réelle  = 38 à 42,2 min

 

Trajectoire

 

*    Au lieu d'aller en ligne droite une trajectoire brachistochrone minimiserait le temps de parcours.

Peu de différence en fait. Mais des calculs autrement plus compliqués.

Curiosités

 

*    Un satellite en orbite circulaire à la surface de la Terre.
Une balle tombant dans un tunnel passant par le centre de la Terre.

   Période du satellite

= Période de la balle

*      Si on lâche une balle à mi-distance du centre de la Terre, la période est la même (Newton avait déjà ce résultat). Par contre, sa vitesse de passage au centre serait moitié moins grande.

   Période sur D

= Période sur ½ D

Anglais: Gravity Train, gravity express, gravity sled, gravity tunnel, tube travelling,

Journey through the center of the Earth

 

 

 

 

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Sites

*    The physicist's pipe dream – Robin Davis

*    Gravity Train solution

*    The gravity tunnel in a non-uniform Earth – Alexander Klotz

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