NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

Carré magique 4 x 4

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

Carré 4 x 4

Décompte

Formules

Premiers

Carré mental

Propriétés

Relations

Pandiagonaux

Plus que parfait

Classement

Cousinage

 Étude de cas

 

Sommaire de cette page

>>> Le défi

>>> Approche de la solution

>>> Recherche de la solution avec tableur

>>> Recherche de la solution par programmation

 

 

 

 

Carré magique 4 x 4

Inclusion d'une date anniversaire

  

Comment s'y prendre pour inclure une date anniversaire (ou autre) dans un carré magique de 4 x 4 ?

Avec les formules de Sallow et un tableur, c'est souvent réalisable. Les impossibilités sont assez vite détectées.

 

Le défi

 

Réaliser un carré 4x4 avec un carré 2x2 donnant la date anniversaire (exemple: le 8 novembre 2001) sous la forme indiquée.

Idéalement, ce carré sera placé au centre.

Par ailleurs, il serait souhaitable que la somme magique reflète le département de naissance (33) ou alors celui de ma résidence (88).

Est-ce réalisable ?

 

Note: contrairement au carré magique classique, les nombres ne seront pas en continuité de 1 à n².

 

 

Approche de la solution

 

La somme magique d'un tel carré est imposée par le carré central: 8 + 11 + 20 + 1 = 40. Donc ni 33, ni 88, avec cette disposition.

Le carré magique, avec le carré-anniversaire au centre, n'est pas possible du fait de la faible valeur du 1. Celle-ci impose des valeurs négatives sur d'autres cellules.

Le tableau montre une solution, mais avec trois valeurs négatives.

 

Impossible

 

Pour éviter les valeurs négatives et obtenir la somme désirée, il faut changer la place du carré-anniversaire. Nous allons le descendre d'un cran vers le bas.

Du fait des valeurs imposées pour la date anniversaire, la somme sera supérieure à 33 (les formules l'imposent). Nous allons viser 88.

 

 

Carré visé

 

Recherche de la solution avec tableur

 

Le tableur est utilisé comme une ardoise et une aide au calculs.

Les formules de Sallow sont utilisées. Elles nécessitent de préciser la valeur de huit paramètres.

Mais nous avons quatre contraintes avec les quatre cellules anniversaires (rouges).

 

La somme magique vaut:
 S = A + B + C + D + a + b  + c
= 20 – c + 11 – c + 8 + 1 + a + b + c
= 40 + a + b – c = S

Pour atteindre S =  88:
 a + b – c = 88 – 40 = 48

 

Formules de Sallow

A

B + a

C + b

D + c

C + c + d

D + b

A + a

B - d

D + a - d

C

B + c

A + b + d

B + b

A + c

D

C + a

 

Quatre valeurs imposées

C = 8 et D = 1

A + c = 20 et B + c = 11

 

Conditions sur c et les autres

Si B = 1 alors c < 11.

Avec A > 0, alors c > - 20

A varie de 1 à 30 et B de – 9 à 21

Avec B – d > 0, B > d 

Avec D + a – d, a > d – 1

 

 

Disposition tableur

En haut, les valeurs des paramètres. En rouge les valeurs contraintes. Les paramètres a et b sont ajustés pour obtenir S = 88.

Le carré magique, muni de ses formules, se remplit automatiquement.

Pour se rassurer, les dix sommes sont calculées (88).

En bas, l'énumération des 16 nombres utilisés pour vérifier l'unicité de chacun.

Les solutions sont trouvées après essais successifs.

 

 

Une des solutions

 

Recherche par programmation

 

Programmation Maple

Initialisation et compteur de succès à zéro.

Déclaration d'une matrice 4x4

Valeur connue pour C et DD (D est réservé à Maple).

Boucles  sur c et calcul de A et B.

Boucles sur a, b et d.
Calcul une à une des valeurs de la matrice.

 

 

 

Vérifications

Unicité des nombres dans la matrice (ici, il s'agit d'un simple tableau à remplir): création de l'ensemble (set) des valeurs. La quantité (nops) des éléments est 16 si toutes les valeurs sont différentes.

Nombres positifs: balayage des nombres de la matrice et bascule Pos mise à 0 dès la rencontre d'une valeur négative (break).

Vérification de la somme magique pour se rassurer; inutile, car les formules assurent la magie.

Si ses trois conditions sont réunies et, en plus, si la somme vaut 88, impression de la matrice

 

 

Quelques sorties parmi les 1469 carrés magiques possibles avec les contraintes

Valeur minimale de la somme magique: 37

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

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