NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références /    Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 13/04/2010

Débutants

Nombres

Premiers

Nombres PREMIERS

Glossaire

Nombres

Premiers

 

Historique

 

 

 

Index des pages

NOMBRES PREMIERS

 

>>> INDEX

 

Historique

Historique - Ordi

Historique de Pi (n)

 

Sommaire de cette page

>>> Historique

>>> Bilan des calculs à la main


 

 

Les nombres premiers sont les atomes mêmes de l'arithmétique. Ce sont les nombres indivisibles, qu'il est impossible de décomposer sous la forme d'une multiplication de deux nombres plus petits. 13 et 17 sont des premiers, ce qui n'est pas le cas de 15, que l'on peut également écrire en tant que 3 fois 5. Ils sont les pierres précieuses enchâssées dans l'immense étendue de l'univers infini des nombres, que les mathématiciens explorent depuis des siècles. Ils sont pour eux une source d'émerveillement : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... nombres hors du temps qui existent dans un monde indépendant de notre réalité physique. Pour le mathématicien, ils sont un don de la Nature.

Marcus du Sautoy

Voir Pensées & humour / Citations de mathématiciens

 

 

 

NOMBRES PREMIERS – Historique
 

*    Connus depuis l'Antiquité.

*    Objets de nombreuses recherches.

*    Course au nombre premier le plus grand.

*    Utilisation des ordinateurs, et la course aux records se poursuit de plus belle.

 

 

   

Historique

 

Chinois

*         Ils formulent une hypothèse.

Pour tout premier p : 2p - 2 est divisible par p.

 

Grecs

*         Les mathématiciens grecs connaissaient bien les nombres premiers.

*         L'école de Pythagore  (500 à 300 av. J.-C.) prêtait un rôle mystique aux nombres. Ses membres s'intéressaient aux nombres premiers, parfaits et amiables.

*         Euclide, vers 300 av. J.-C. , publie " les Éléments "avec du nouveau sur les nombres premiers:

*    Ils sont en nombre infini. La démonstration est la première preuve par l'absurde de l'histoire .

*    Il prouve le théorème fondamental de l'arithmétique: tout nombre est le produit unique de facteurs premiers (sauf à changer l'ordre des facteurs).

*    Il montre que si 2n - 1 est premier alors 2n-1 ( 2n - 1) est parfait. Euler (1747) montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

*         Ératosthène, vers 200 av. J.-C., invente son crible qui permet de trouver les nombres premiers: pour chaque nombre tête de liste, on barre tous ses multiples.

 

 

Ensuite …

*         Plus rien pendant longtemps: la période noire !

 

 

Cataldi

*         En 1588, Pietro Cataldi donne les nombres premiers suivants :

M17 = 217 – 1 = 131 071 (M pour Mersenne)

M19 = 219 – 1 = 524 287

M23, 29, 31 et 37 , selon lui, sont aussi premiers, ce qui n'est pas complètement exact!

 

 

Mersenne (1588-1648)

*         Ce moine français, Marin Mersenne, s'intéresse aux nombres de la forme 2n – 1 qui sont souvent premiers.

 

 

Fermat (1601-1665)

*         Au début du XVIIe siècle, Fermat prouve que:

*    Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est la somme unique de deux carrés (une intuition d'Albert Girard).

Exemple: n = 3 alors 4n + 1 = 13 = 9 + 4 = 3² + 2²

*    Tout nombre est la somme de 4 carrés, au plus.

*    Si p est premier alors a p = a modulo p.

*    Il invente une méthode de factorisation des nombres composés.

Exemple: 2 027 651 281 = 44 021 x 46 061

*    Il correspond avec le moine Mersenne (nombres de la forme 2n – 1) alors que Fermat s'intéresse à ceux de la forme 22^n + 1.

 

*         En 1640, Fermat montre que si p est un nombre premier impair, alors tous diviseurs premiers de 2p – 1 sont de la forme 2kp + 1.
Il montre rapidement que Cataldi se trompe pour 23 (qui a un facteur avec k = 1) et pour 37 (facteur avec k = 3).
237 – 1 =  223 x 616 318 177 avec 223 = 2 x 3 x 37 + 1.
616 318 177 est le plus grand premier connu de cette époque.

 

 

 

Goldbach (1690-1764))

*         En 1742, il propose sa conjecture à Euler:

Tout nombre entier pair est somme de deux premiers.

 

 

Kulik

*         Nombreux sont ceux qui ont traqué le nombre premier tel l'Autrichien Kulik qui y consacra 20 ans de sa vie pour décomposer tous les nombres en facteurs premiers jusqu'à 100 millions.

 

Date

(tous les calculs

faits à la main)

Tous les premiers

connus jusqu'à:

1746

100 000

1797

400 000

1811

1 000 000

1863

100 000 000

 

 

Euler (1707-1783)

*         C'est seulement 100 ans plus tard qu'Euler montre que :

232 + 1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417

 

*         2n – 1 est toujours composé si n n'est pas premier (facile a montrer); Ce sont les nombres de Mersenne (Mn), lequel les étudia en détail.  

*         Mais tous les 2n – 1 avec n premier ne sont pas premier! Le premier fut trouvé en 1536 : 211 – 1 = 2 047 = 23 x 89.
Pendant de nombreuses années, et c'est encore le cas aujourd'hui, les nombres de Mersenne fournirent les nombres premiers les plus grands connus.

 

*         En 1738, Euler montre que Cataldi se trompe pour 29 en trouvant 233 comme diviseur. Il suffisait de prendre le résultat de Fermat pour k = 4, ce qui laisse penser que Fermat aussi connaissait ce résultat. Euler prouve aussi que Cataldi a vu juste pour 31.Ce sera le plus grand nombre premier durant 200 ans.

 

*         Euler donne le fameux nombre (231 – 1) comme premier, puis doute dans un courrier d'octobre 1753 à Goldbach. En 1772, son courrier à Bernoulli est publié : 231 – 1 est bien premier. Il le prouve car tous les diviseurs premiers de 231 – 1 doivent être de la forme 248n + 1 ou 248n + 63. En divisant par tous les premiers de cette forme, inférieurs à 46 339, on vérifie qu'il est bien premier.

 

*         Euler avait donné 231 – 1 premier dès 1732, mais aussi 241 – 1 et 247 – 1 qui tous deux ne le sont pas!

 

Bilan

*         Euler a fortement contribué à l'étude des nombres premiers: 

*    Calcule M31 = 231 – 1 = 2 147 483 647 et montre qu'il est premier.

*    Factorise 232 + 1, etc.

*    Il étend le petit théorème de Fermat.

*      Il introduit la fonction Phi (n), donnant la quantité de nombres qui sont premiers avec n, et inférieur à n.

NB : ne pas confondre avec Pi (x)

 

*    Il trouve 60 paires de nombres amiables.

*    Il montre que la série harmonique est divergente, et aussi la série équivalente avec les nombres premier.

 

 

Série harmonique

Équivalent avec les nombres premiers

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... =

Croît comme log (n).

Il faut 10434 termes pour atteindre la somme de 1 000.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +... =

Croît comme log (log (n)).

La suite de tous les premiers connus donne seulement 4.

 

 

Peter Barlow (en 1811)

 

*         Dans son livre " la théorie des nombres ", il dit que 230 (231-1) est le plus grand nombre parfait qui ne sera jamais découvert. En effet, ces nombres sont de simples curiosités inutiles, et il est probable que personne ne cherchera à en chercher d'autres plus grands.

 

 

Landry (en 1867)

*         Il trouve le plus grand nombre premier, en essayant par divisions. Il s'agit d'un des facteurs divisant 259 – 1.

Il s'agit du nombre 3 203 431 780 337 = (259 – 1) / 179 951.

*         Ce nombre détient le record du premier non - Mersenne le plus grand, trouvé sans ordinateur.

 

 

Lucas (1842-1891)

*         En 1876, Lucas développe un test astucieux pour savoir si un Mersenne est premier. La méthode sera simplifiée par Lehmer vers 1930, et elle est toujours utilisée.

La séquence S(n) est calculée modulo 2p – 1 pour gagner du temps. Cette formule est idéale en binaire car la division par 2p – 1 (en binaire) est effectuée par simples rotations et additions.

*           Il montre que M127 (1039) est premier.

*           Il sera le détenteur du record du plus grand nombre premier avant l'utilisation des ordinateurs et découverte d'un nouveau record en 1951.

 

 

 

BILAN des records "à la main" 

Nombre

Chiffres

Année

Par

Méthode

217 – 1 

6

1588

Cataldi

Essais par division

219 – 1

6

1588

Cataldi

Essais par division

(237 – 1) / 223

 

1640

Fermat

Essais par division

231 – 1

10

1772

Euler

Essais par division

(259 – 1) / 179 951

13

1867

Landry

Essais par division

2127 – 1

39

1876

Lucas

Test de Lucas

(2148 + 1) / 17

44

1951

Ferrier

Théorème de Proth

 

 

 

Ferrier (en 1951)

*         Il utilise un calculateur de bureau et la technique basée sur les inverses partiels du petit théorème de Fermat.
Il améliore le record à 44 chiffres avec: (2148+1) / 17 = 20988936657440586486151264256610222593863921.

*         La même année, on trouve un premier de 79 chiffres, mais avec un ordinateur.

 

 


 

Suite

*    Recherches sur ordinateurs

*    Historique sur la quantité des nombres premiers

*    Nombres premiersIndex

Voir

*    HistoireIndex

*    Table des records

*    Tous les Mersenne premiers