géométrie élémentaire: perpendiculaire

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Perpendiculaires

Droites orthogonales

Définition et propriétés.

Attention, nous sommes en géométrie plane.

Perpendiculaire

Droites qui forment un angle droit (90°) entre-elles.

On note: () (')

Remarque: dans le plan les droites, sauf à être parallèles, se coupent toujours. D'où l'emploi de l'adjectif perpendiculaire et non orthogonal.

Axiome

Soit une droite () et un point M quelconque du plan. Par le point M il passe une droite et une seule perpendiculaire à ().

Théorèmes

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

() (1) et () (2) => () // (2)

Si deux droites sont parallèles, alors une perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre.

() // (2) et () (1) => () (2)

Types de perpendiculaires
Normale	Droite normale à un plan: droite qui est perpendiculaire à deux droites distinctes de ce plan.
Verticale	Droite perpendiculaire au plan horizontal ou perpendiculaire à deux droites horizontales distinctes. Souvent assimilée à l'axe des y dans un repère à deux axes ou des z dans un repère a trois axes.
Hauteur	Dans un triangle, perpendiculaire à un côté, issue du sommet opposé.	>>>
Apothème	Sorte de hauteur - polygones réguliers: droite issue du centre et perpendiculaire à un côté. - pyramides régulières: droite issue du sommet et perpendiculaire à un côté.
Médiatrice	Perpendiculaire à un segment en son milieu.	>>>
Hypoténuse	Dans un triangle rectangle, côté opposé à l'angle droit.
Repère	Ou système d'axes orthogonaux.	>>>

Construction à partir d'un point sur une droite
Méthode du triangle isocèle Construire la perpendiculaire en A à la droite D. 1. Cercle de centre A de rayon quelconque. Il coupe la droite en M et M'. 2. Cercles de centre M et M' de même rayon quelconque. Ils se coupent en P et P'. 3. La droite PP' est la perpendiculaire recherchée. Note: PP' est la médiatrice de MM'
Méthode de l'architecte, de l'arpenteur, du maçon ou du jardinier ou encore méthode 3-4-5 Construire la perpendiculaire en A à la droite D. 1. Placer B à trois unités de A sur la droite D. 2. Cercle de centre A avec 4 unités de rayon. 3. Cercle de centre B avec 5 unités de rayon. On reconnait le célèbre triangle rectangle 3-4-5 d'où le nom de la construction. Voir Méthode du jardinier et le théorème de Pythagore
Méthode express Construire la perpendiculaire en A à la droite. 1. Point B quelconque 2. Cercle (B, BA). Intersection C. 3. Demi-droite CB. Intersection D. 4. Demi-droite AD perpendiculaire en A à AC. Justification CD est un diamètre. L'angle CAD intercepte un diamètre, il est droit.