NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ÉLÉMENTS de base

 

Débutants

Géométrie

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie 

Bases

Point

Droite

Plan

Parallèle

Perpendiculaire

Égalité

Distance

Angle

 

Sommaire de cette page

>>> Cinquième postulat

>>> Démonstration?

>>> Conséquences

>>> Parallèles et sécante

 

 

 

 

 DROITES PARALLÈLES

 

 

 

Les deux rails sont parallèles. Ils ne se rencontrent jamais.

 

 

 

 

Illustration: Une gare indienne en campagne.

rail

Voir Expression avec le mot "droite"

 

 

 

CINQUIÈME POSTULAT

Éléments

*    Dans " les Éléments ",

Euclide propose dix propositions de départ et leur applique les règles du raisonnement déductif.

Dix propositions

*    Cinq axiomes et cinq postulats

Comme:
Deux choses égales à une troisième sont égales entre elles.

Incluant le cinquième postulat.

Cinquième postulat

Diverses formulations

 

 

 

 

 

 

*    Deux droites parallèles ne se rencontrent jamais.

alerte.jpgDeux droites qui ne se rencontrent jamais ne sont nécessairement parallèles; elles doivent en outre appartenir au même plan.

*    Par un point, on ne peut tracer qu'une droite et une seule qui soit parallèle à une droite donnée.

Formulation de John Playfair (1748-1819)

*    Une droite est un point étant fixés,

il existe une droite et une seule

passant par ce point et parallèle à la droite.

*    Deux droites (D1 et D2),

qui coupent une troisième droite (D)

avec des angles internes (A1 et A2) dont la somme est inférieure à deux angles droits,

se rencontrent dans la direction où la somme  des deux angles est inférieure  à deux angles droits.

Formulation d'Euclide

 

 

Traduction en français et en anglais du cinquième postulat d'Euclide (vers -300)

 

Voir Historique des trois géométries

 

 

 

DÉMONSTRATION ?

 

*    L'énoncé du postulat est évident.

*    Admis sans discussion par le commun des mortels.

*    Et pourtant, toute tentative de démonstration (à partir des quatre autres) a échoué.

*    On ne peut pas, non plus, prouver le contraire.

 

Il peut être considéré, à notre guise, comme vrai ou faux.

Selon le cas, on donne naissance à de nouvelles géométries.

Il y en a de 3 types.

 

*    L'indépendance a été démontrée par la donnée d'un modèle – modèle de Klein –

Grâce à quoi la voie fut ouverte au développement de nouvelles géométries dites non euclidiennes.

 

*    1899: David Hilbert (1862 – 1943) publie:
"Principes fondamentaux de la géométrie (Grundlagen der Geometrie)

Il y démontre que la géométrie euclidienne est fondée de façon satisfaisante:

que les axiomes retenus sont indépendants et

qu'ils ne conduisent pas à des contradictions.

Voir Indécidable

 

 

 

CONSÉQUENCES:   Trois géométries

 

 

Cinquième postulat

Courbure de l'espace =>

Géométrie

VRAI

Nulle

Euclidienne

FAUX

Positive

Sphérique

Négative

Hyperbolique

 

Suite en Trois géométries

 

 

 

Parallèles et sécante

 

*      D et D' sont deux droites parallèles et S une sécante.

*      Tous les angles marqués 1 sont égaux. Comme tous ceux marqués 2.

*      De plus les angles 1 et les angles 2 sont supplémentaires: leur somme vaut 180°, l'angle plat.

 

 

 

 

Plan parallèles

 

*    Les faces opposées d'un cube sont parallèles; les plans qui portent ces faces sont parallèles.

*    Deux plans parallèles (P et P'): un plan sécant (S) traversent les deux plans selon deux droites parallèles (AB et A'B').

*    Une droite D dans le plan P et un point M sur cette droite: une perpendiculaire en M. Les droites D' du plan P' sont orthogonales à MM'.

 

 

 

 

Suite

*    Perpendiculaire

*    Égalité

*    Éléments de bases de la géométrie

*    Constructions élémentaires: parallèles

Voir

*    Bases de la géométrie

*    Cinquième postulat

*    Constructions avec des allumettes

*    Euclide

*    Euclide et contemporains

*    Géométrie - Glossaire

*    Géométrie - Index

*    Jeux

*    Les Éléments

*    Les trois géométries

*    Polygones

*    Symétries motifs de frises et tapisseries

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