NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

ORDRE arithmétique

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

P = 4n ± 1

P = 30 k + P'

Séquence en 31

Barre magique

P = 6n ± 1

P = 6n ± 1 Liste

Somme en 6n – 1

Forme / Infini

 

Sommaire de cette page

>>> Formes et quantité finie

>>> Quantité infinie de premiers

>>> Point de situation

>>> Forme et quantité infinie: 4k – 1

>>> Forme et quantité infinie: 4k + 1

>>> Forme et quantité infinie: 6k + 1

>>> Forme et quantité infinie: 6k + 5

>>> Théorème de Dirichlet sur les nombres premiers

 

 

 

 

 

FORMES

 et quantité de nombres premiers

 

Analyse de certaines formes de nombres et caractérisation de la quantité de nombres premiers de cette forme.

Il y a une infinité de nombres premiers de la forme:
(en rouge démonstration sur cette page):

3k + 1; 3k + 2    /    4k + 1; 4k + 3    /    5k + 1; 5k + 4

6k – 1; 6k + 5      /      8k + 5; 8k + 7    /    12k + 5;  12k + 7; 12k + 11

n² + m²,  n² + m² + 1

 

On ne sait pas s'ils sont en nombre infini:

Premiers jumeaux (Conjecture de Bateman-Horn)

Nombres en n² + 1 (Un des quatre problèmes de Landau – 1912)

Nombres en (p1.p2.p3….pm)k + 1 (équivalent au cas ^précédent)

Nombres p tels que p – 1  est un carré.

Anglais: The infinitude of primes

 

 

Nombres premiers et formes particulières

Seul 3 est premier de la forme 4n – 1

Un nombre premier n'a que deux facteurs: 1 et lui-même

Le plus petit est 2n – 1 est celui qui vaut 1; alors n = 1.

Puis, le second facteur vaut 3.

Seul 5 est premier de la forme n4 + 4

Un nombre premier n'a que deux facteurs: 1 et lui-même

Le plus petit est n² – 2n + 2 qui vaut 1 et n = 1.

Alors, le second facteur vaut 5.

Voir Identités remarquables

 

 

Quantité infinie de premiers

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 4k – 1, pas un de plus:

S =  {p1, p2, p3pk }

Construisons le nombre:

N = p1 . p2. p3 … pk  + 1 = 4M + 1

N est toujours supérieur à l'un quelconque des pi

Il n'est pas l'un de pi et n'est donc pas premier.

N est composé.

Théorème fondamental de l'arithmétique. Autrement dit: N doit être divisible par des nombres premiers

N =  produit de facteurs premiers.

Alors pi  divise N pour un certain i

(Théorème: si a divise b + c, il divise a et c)

Il faudrait que pi divise le 1 de N.

Ce qui est  impossible.

Autrement-dit: chaque fois qu'un pi divise N, il reste 1. N n'est jamais divisible par pi.

Conclusion: l'hypothèse est fausse, donc:

Il existe une infinité de nombre premiers.  

Note: Hors de la supposition initiale

N = p1 . p2. p3 … pk  + 1 est premier ou composé

Voir Approche et développements complets sur cette démonstration

 

 

 

Point de situation

La démonstration ci-dessus est rappelée, car, toutes les suivantes se calquent plus ou moins sur celle-ci.

 

Tous les nombres premiers, à l'exception de 2, sont impairs: il existe une infinité de nombres premiers en 10k + {1, 3, 7 ou 9}.

De même, il existe une infinité de premiers en 4k + 1, 4k – 1, etc. 

 

Quelque cas abordables sont exposés ci-dessous.

 

En 1837, Dirichlet prouva tous ces résultats sous une forme plus générale, mais en s'aidant de méthodes analytiques de la théorie des fonctions complexes hors du cadre de ces pages.

 

Note: le cas de l'infinité des nombres premiers jumeaux n'et pas prouvé.

 

 

Forme en 4k – 1  (ou 4k + 3)

 

Il y a une infinité de nombres premiers en 4k – 1 (ou 4k + 3)

Anglais: There are infinitely many primes of the form 4k+3.

 

Rappel: les nombres premiers sont de la forme 4k + 1 ou 4k + 3 >>>

 

Démonstration 1

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 4k – 1, pas un de plus:

S =  {4k1 – 1, 4k2 – 1, … 4kk – 1}

Construisons le nombre:

N = (4k1 – 1)(4k2 – 1) … (4kk – 1) – 1 = 4M – 1

Caractéristiques de ce nouveau nombre:

N est impair de la forme 4k – 1.

N n'est pas premier, car ce serait un de plus; or ils sont tous dans S.

N est donc composé.

Tous les nombres premiers sont en 4k + 1 ou 4k – 1

Pour obtenir 4M – 1, l'un, au moins, des facteurs premiers de N est en 4k – 1.

Bilan

*       N est égal à un produit pur

*       et à un produit moins 1

avec des facteurs premiers de même forme.

 

N = Q (4k – 1) + 0

N = (4k1 – 1)(4k2 – 1) … (4kk – 1) – 1

 

Tous les facteurs en (4k – 1) étant premiers:

Égalités incompatibles.

Autre possibilité avec Q qui divise N:

 

Or  1/Q n'est pas un entier.

L'hypothèse est fausse, donc:

Il existe une infinité de nombre premiers en 4k – 1  

 

 

Démonstration 2

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 4k + 3:

S =  {p1, p2, …pk}

Construisons le nombre:

N = (2 x p1 x p2 x … x pk)2 + 2

Valeur de N mod 4

N = (4k + 3)2 (4k+3)2 … + 2

N  (9) (9) … + 2  mod 4

N  (1) (1) … + 2  mod 4

N  3 mod 4

N est impair et n'est divisible par aucun des pi . Les facteurs ne sont pas en 4k – 1, mais en 4k + 1.

N  1 mod 4

Contradiction sur la congruence de N

Il existe une infinité de nombre premiers en 4k – 1

 

 

Forme en 4n + 1

Il y a une infinité de nombres premiers en 4n + 1

 

Deux démonstrations sont proposées.

 

Démonstration 1

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 4k – 1:

S =  {p1, p2, …pk}

Construisons le nombre:

N = (2 x p1 x p2 x … x pk)2 + 1

    = M + 1

    = A² + 1

Caractéristiques de ce nouveau nombre:

N est

*       soit premier: impossible, ce serait un de plus;

*       soit il possède un facteur premier Q: peut-il être en 4k + 3.

Avec le facteur premier Q = 4k + 3

Q = 2m + 1 avec m impair

2m = Q – 1

Q divise N = A² – 1 

Q divise N  mais pas A

Avec le petit théorème de Fermat et Q premier

Contradiction

Impossible d'avoir ces deux congruences simultanées avec Q un premier impair. Pas de facteur en 4k + 3.

Bilan

Si N possède un facteur premier, celui-ci est en 4k + 1.

Ce serait l'un de ceux de S.

Avec Q qui divise A, donc A²,  alors qu'il divise N

Q divise N – A² qui vaut 1.

Contradiction: l'hypothèse initiale est à réfuter.

Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 1. 

 

 

Démonstration 2

On forme ce nombre en factorielle n:

M = (n!)2 + 1

Soit un nombre  premier p, plus grand que n et qui divise M.

M   0 mod p  avec p impair

Réécriture de la congruence:

 

 

Y compris en élevant à la puissance (p – 1) / 2

(n!)2 + 1   0 mod p

(n!)2   – 1 mod p

 

Avec le petit théorème de Fermat et p premier et impair.

Possible que si la puissance de (–1) est paire.

(p – 1) / 2 = 2 m

p = 4m + 1

Or  p > N

Quelle que soit  la valeur de N, aussi grand que l'on veut, il y aura toujours un p plus grand.

Conclusion:

Il y a une infinité de nombres premiers en 4k + 1. 

 

Français / Anglais

Divisé par 4, un nombre entier peut avoir quatre restes: 0, 1, 2 ou 3. En conséquence, ils peuvent s'écrire: 4m, 4m+1, 4m+2 ou 4m+3. Les nombres en  4m et en 4m+2 dont divisibles par 4 et par 2, respectivement, et alors ne peuvent pas être premiers (exception avec 2).

 

Maintenant, le produit de deux nombres en 4m + 1 est également un nombre de même forme: (4k+1)(4m+1) = 4(k+m+4km)+1. Notez également que les nombres en 4k+3 peuvent s'écrire: 4(m+1)−1 = 4k−1.

 

Alors, comme avant, supposez qu'il y ait une quantité finie p1, p2, …, pn de nombres premiers de la forme 4m–1. Formez le nombre N = 4p1p2pn−1. Puisque N lui-même est en 4m–1, tous ses facteurs ne peuvent pas être en 4m+1. En conséquence, il doit y en avoir au moins un de forme 4m–1.

 

Quel qu'il soit, il doit être différent de tout nombre parmi p1, p2, …, pn. Contradiction.

Divided by 4, integers may have only four remainders: 0, 1, 2 or 3. Accordingly, they may be written as 4m, 4m+1, 4m+2 or 4m+3. Numbers 4m and 4m+2 are divisible by 4 and 2, respectively, and thus can't be prime (except for 2).

 

Now, numbers 4m+1 have the property that the product of any two of them is again a number in the same form: (4k+1)(4m+1) = 4(k+m+4km)+1. Also note that numbers in the form 4m+3 may also be written as 4m+3 = 4(m+1)−1 = 4k−1.

 

Now, as before, assume there is only a finite number p1,p2,…,pn of primes in the form 4m−1. Form a number N = 4p1p2pn−1. Since N itself is in the form 4m−1, all of its prime factors can't be in the form 4m+1. Therefore, there must be at least one in the form 4m−1.

 

Whatever it is, it must be different from any of p1,p2,…,pn. Contradiction.

Source du texte anglais: Infinitude of Primes Cut The Knot

 

 

Forme en 6k + 1

Il y a une infinité de nombres premiers en 6k + 1

 

Rappel: les nombres premiers sont de la forme 6k + 1 ou 6k + 5 >>>

 

Démonstration**  (Traduction de la démonstration de David Radcliffe)

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 6k + 1:

S =  {p1, p2, …pk}

Soit N:

N divisible par 6 et par tout pi.

Soit P un diviseur de:

Tout en notant:

P = N² – N + 1

(N² – N + 1) (N + 1) = N3 + 1

Ce qui veut dire que P divise N3 + 1:

Et aussi:

Rappel sur l'ordre multiplicatif k  de N modulo p

k est le plus petit exposant tel que

L'ordre doit diviser 6

k = {1, 2, 3 ou 6}

Or  

k n'est ni 1, ni 3

Est-ce que k = 2? On aurait, en même temps:

Ce qui implique:

Pas bon car, P diviserait à la fois

Or, en termes de plus petit dénominateur commun (PGCD)

Contradiction

Donc, l'ordre multiplicatif de N est 6

Le groupe d'unités mod P a un ordre p – 1

Alors 6 divise P – 1

Ou:   P est en 6k + 1

Preuve que S ne contient pas tous les premiers en 6k + 1.

L'ensemble des premiers en 6k + 1 est infini.

 

 

Forme en 6k + 5

Il y a une infinité de nombres premiers en 6k + 5

 

Démonstration

Supposons qu'il n'y ait que k nombres premiers en 6k + 5:

S =  {p1, p2, …pk}

Construisons le nombre:

N = (p1 x p2 x … x pk)2 + 4

Valeur de N mod 4

N = (6k + 5)2 (6k+5)2 … + 4

N  (5)2 (5)2 … + 4  mod 6

N  (1) (1) … + 4  mod 6

N  5 mod 4

N est impair et n'est divisible par aucun des pi . Les facteurs sont en 4k + 1.

N  1 mod 6

Contradiction sur la congruence de N

Il existe une infinité de nombre premiers en 6k + 5

 

 

Théorème de Dirichlet sur les nombres premiers

 

Théorème de Dirichlet (1837)

 

Pour tout a et b étant PEE positifs, il existe une infinité de nombres premiers

du type a + k.b,

Voir Nombres premiers entre eux

 

 

Voir Dirichlet (1805-1859)

 

On parle ici de progression arithmétique: a, a+b, a+2b, a + 3b … a + kb …

Les nombres impairs sont en progression arithmétique: a = 1 et b = 2 et un nombre impair est de la forme: 1 + 2k.

En terme de congruences, une progression arithmétique est l'ensemble des nombres positifs tels que n   a  mod b

Si a et b ne sont par premiers entre eux – on note: (a, b) > 1 – la suite: a, a+b, a+2b, a + 3b contient, au plus, un nombre premier.

Pour p  2 mod 4: un seul premier

Pour p  6 mod 8: aucun premier

Par contre, et c'est le théorème de Dirichlet, il y en a une infinité si a et b sont premiers entre eux (a, b) = 1.

Nécessaire

Si d est le PGCD de (a, b) >1, alors:

d divise (a + k.b)  pour tous x

et,  (a + k.b) est composé pour tout k positif.

Suffisante

Il est facile de démontrer que la condition est nécessaire, plus dur est de démontrer qu'elle est suffisante.

Voir Nombres premiers en progression arithmétique

 

 

 

 

Voir

*    Formules pour les premiers

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Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Barre magique des nombres premiers 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Nombres composés

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*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

Sites

*    Infinitude of Primes – Cut The Knot

*    Square patterns and infinitude of primes – Keith Conrad

*    There are many primesSalih Acar

*    Primes of the form 6k + 1 – David Radcliffe

*    Conjecture de Bateman-Horn – Wikipédia

*    OEIS A002496 – Primes of form n^2 + 1

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/FormeInf.htm