NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Géométrie

NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

Débutant

Valeurs

Phi et Fibonacci

Proportion

Tout PHI en bref

Formules

Puissances

Construction

Introduction

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

Historique

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

Sommaire de cette page

>>> Construction du rectangle d'or

>>> Le nombre d'or – Définition

>>> Où se trouve le nombre d'or?

>>> Format de divers média

>>> Un peu d'histoire

>>> le Parthénon

 

 

 

 

 

 

NOMBRE D'OR en bref

Ce qui est essentiel à savoir

  

Tour d'horizon en commençant par approcher le nombre d'or par la construction du rectangle d'or et en finissant par un édifice, le Parthénon, dont les dimensions sont sensées démontrer le nombre d'or.

 

 

Nombre d'or ou divine proportion

 

 

Construction du rectangle d'or

 

Étapes de construction

1)   Je construis un carré ABCD de 10 carreaux de côté.

2)   Je positionne le point milieu M, en bas.

3)   Je dessine un cercle de centre M et de rayon MB; il coupe la droite DC en F.

4)   Le rectangle ABEF est un rectangle d'or.

 

 

Mesures et conclusions

Je mesure le grand côté DF: 16,2 carreaux

Le rapport (ou le quotient) entre les mesures de la longueur et de la largueur est

Si je calcule le rapport pour le rectangle BEFC, je trouve

Soit, à peu près la même valeur.

Ce nouveau rectangle BEFC est aussi un rectangle d'or.

 

Valeur exacte du nombre d'or

Le triangle BCM est rectangle, je peux lui appliquer le théorème de Pythagore:

 

= a²

+ b²

BM²

= CM²

+ BC²

 

+ 1²

 

DF

= DM

+ MF

 

= DM

+ BM

 

 

 

 

= 1,6180…

 

Cette valeur confirme les mesures effectuées sur les deux rectangles.

 

 

 

 

Le nombre d'or – Définition

 

Le nombre d'or, aussi appelé divine proportion,  est justement défini par une proportion.

Un segment est coupé en deux selon la divine proportion si:

 

"le long est au moyen ce que

 le moyen est au petit".

 

 

 

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Cette proportion se prête à un calcul.

En prenant la forme linéaire.

B² = (B + C) x C = BC + C²

Soit une équation du second degré.

En choisissant C = 1.

B² - BC – 1 = 0

Sa résolution donne deux valeurs pour B.

En fait, le nombre d'or (noté phi majuscule).

 

 

Où se trouve le nombre d'or?

En géométrie, nous avons construit le rectangle d'or. En fait, le nombre d'or est roi dans le pentagone où il se niche quel que soit le pentagone pourvu qu'il soit régulier.

La longueur de la diagonale d'un pentagone régulier de côté unité est égale au nombre d'or.

C'est le cas pour les cinq diagonales: AC, AD, BE, BD et CE.

 

Note: si vous calculer la valeur du cosinus avec votre calculette, assurez-vous que vous êtes bien en position: radians (Pi/5 radian = 36°)..

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En arithmétique, le nombre d'or est le nombre vers lequel converge le rapport entre deux nombres successifs de la suite de Fibonacci.

Cette suite de nombres est rencontrée couramment dans la structure des végétaux (phyllotaxie)

 

 

Suite de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …

Chaque nombre est la somme des deux précédents.

Déjà avec 21/13 on trouve: 1,615

Avec de plus grands nombres comme 233/144, on trouve: 1,6180 … C'est d'ailleurs une bonne approximation de Phi, facile à retenir.

 

 

Curiosité avec les puissances

Le nombre d'or au carré conserve ses décimales.

C'est le cas également pour l'inverse du nombre d'or.

0,618 … / 1,618… / 2,618…

 

 

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Curiosité avec les fractions

Le nombre d'or est égal à une fraction à étage qui se prolongerait sans fin.

Ces drôles de fractions reproduisent les nombres de Fibonacci au numérateur et au dénominateur.

 

 

 

Etc.

 

 

Dans la vie courante: le format de la carte de crédit est un rectangle d'or.

 

Par contre, le format du papier  A4 est dans un rapport racine de 2 = 1,414… >>>

 

       Afficher l'image d'origine

Architecture moderne:

Le Corbusier (1887-1965) est un architecte qui à développé toute une théorie autour de l'harmonie du nombre d'or

Il invente le Modulor qui sera son abaque pour la construction des habitations. >>>

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En botanique

Que ce soit au niveau des fleurs ou de la disposition des feuilles ou des graines (comme celles du tournesol) on retrouve la suite de Fibonacci et donc le nombre d'or.

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Conclusion

 

S'il est vrai que ce nombre, associé à la suite de Fibonacci, prend une place remarquable dans note univers, il ne faut trop lui en demander.

Nombreux sont ceux qui ont voulu voir le nombre d'or un peu partout, au prix de considérations parfois oiseuses.

 

 

 

Format de divers média

Parmi tous les formats rectangulaires de la vie courante, rares sont ceux qui utilisent le nombre d'or, pas même le format des toiles à peindre.

Voir Format télévision / Format A3-A4 … / Appareils multimédia

 

 

 

Un peu d'histoire

Malgré les proportions imaginées sur le Parthénon et d'autres édifices de l'Antiquité, il n'existe aucune preuve que le nombre d'or fut connu à cette époque.

 

Seul Euclide (325 – 265 av. J.-C. ) aborde cette proportion sans lui donner d'éclat particulier.

Il faut attendre 1445 pour que Luca di Borgo reprenne cette proportion et la "divinise". Le titre de son livre: De divina proportione.

 

 

Fibonacci (1175-1250) découvre la suite de nombres qui portera son nom et observe le rapport. Plus les nombres sont grands et plus le rapport se rapproche de la divine proportion, le nombre d'or.

 

Léonard de Vinci (1452-1519) réfléchit aux proportions idéales du corps humain, basées sur le nombre d'or qu'il désigne par " sectio aurea "

Commence alors un engouement pour ce nombre.

*    En géométrie avec le pentagone et le dodécaèdre (ses faces sont douze pentagones).

*    En Architecture.

*    Mais, surtout en ésotérisme et religion. Kepler (1571-1630) y voit un signe de Dieu.
 

C'est Ghyka, un prince roumain, qui donnera le nom de nombre d'or. Lui aussi, tente de prouver le pouvoir esthétique de ce nombre

 

Le Corbusier (1946) découvre dans le nombre d'or le secret d'une construction en série en inventant le Modulor, système de proportions architecturales pour une harmonie et une plus grande rapidité de construction.

 

Voir Historique complet

 

 

 

Le PARTHÉNON

 

Cet édifice est souvent cité comme exemple de la connaissance du nombre d'or chez les Grecs Anciens.

 

L'édifice

Temple, dédié à la déesse Athéna, situé sur l'Acropole d'Athènes en Grèce.

Il a été construit il y a environ 2 500 ans, du temps où Périclès a entrepris la reconstruction d'Athènes en ruine après une attaque des Perses.

Il abritait une statue géante d'Athéna qui fut détruite lors d'une explosion en 1687. En effet, le temple a servi d'église, puis de mosquée, et même comme dépôt de munitions par les Turcs en guerre avec l'Italie. Lors des tirs italiens, la poudre en réserve explose et détruit une grande partie du Parthénon.

 

The Parthenon

 

Parthénon et rectangles d'or

 

Parthenon.JPG

Voir Parthénon / Géographie

 

 

 

 

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