NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Aire et volume

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Calcul par intégrales

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Sommaire de cette page

>>> Calcul par tranches

>>> Calcul par élément de surface

>>> Calcul avec longueur de la courbe

 

 

 

SPHÈRE – AIRE et VOLUME

Calcul par intégrales

 

 

Calotte de hauteur h

 

Aire

 

Volume

 

Pour calcul du volume de la sphère, les mathématiciens de l'Antiquité procédaient par approximations. Les modernes ont inventé un outil puissant et rigoureux: le calcul intégral.

 

 

 

Calcul par tranches

 

Principe

Calculer le volume de la sphère en faisant la somme des volumes des disques jaunes, considérés comme aussi fins que possible.

 

 

 

Calculs

 

Volume du disque jaune (cylindre):

Volume de la sphère: passage d'une somme discrète (sigma) à une somme continue (intégrale):

Pythagore:

Retour au volume avec quelques aménagements:

Primitive de y = x² + c

                        => x3/3 + cx + cste

Intégration par parties (différence des primitives entre les deux bornes):

Finalement:

Voir Calcul géométrique

 

 

Calcul par élément de surface

 

 

Principe

Calculer l'aire de la sphère en faisant la somme des surfaces élémentaires, considérées comme aussi petites que possible.

La surface élémentaire dA est limitée par un petit angle (thêta, angle d'azimut)) en horizontal et un petit angle (phi) en vertical (angle d'élévation).

L'aire de la sphère est la somme de toutes ces surfaces élémentaires.

 

 

 

Coordonnées polaires

Un point M sur la sphère est repéré par trois paramètres:

*      r, la distance à l'origine;

*      thêta, l'angle horizontal ou azimut ; et

*      phi, l'angle vertical ou élévation.

 

Coordonnées cartésiennes (pour info)

 

Dimension de la surface élémentaire

La longueur d'un arc est égale au rayon multiplié par l'angle exprimé en radians.

Pour db, sur le grand cercle en Phi:

Pour da, sur le petit cercle de rayon r cos(phi), cerce de latitude:

 

Surface élémentaire

 

Surface complète de la sphère

Faire pivoter la surface élémentaire en:

*      faisant un tour complet sur thêta (de 0° à  360°). On a ainsi décrit un cercle complet horizontal;

*      et  en faisant un demi-tour à ce cercle qui décrit alors la sphère complète (phi de -90° = 90°).

 

 

 

Calcul de la surface par intégration

Somme des dA sur toute la sphère:

 

Et, avec séparation des éléments indépendants:

 

Primitive

Primitive du cosinus: le sinus.

Pour thêta, la primitive d'un élément d'angle, c'est l'angle lui-même.

Intégration par parties (différence des valeurs entre les deux bornes):

Soit finalement, l'aire de la sphère:

 

 

Volume

On intègre l'aire selon le rayon de 0 à r:

 

 

Calcul

avec primitive de x2 = x3 / 3:

  

 

 

Calcul de l'aire avec longueur de la courbe

Pour une courbe paramétrée avec x() et y(t), la longueur d'un arc est:

Par une rotation autour de x, aire de la surface obtenue:

Si la courbe est un cercle:

x(t) = r cos(t) et y = r sin(t)

     pour t de 0 à Pi

En remplaçant:

Intégration

 

 

 

 

Suite sur la sphère

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