NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Résolution

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle

 

Types de triangles

Résolution

Hauteur

Aire (Héron)

Construction

Formules

Projection

T 13 14 15

T 48°

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle 48° et Pythagore – Le défi

>>> Angle 48° – Valeurs trigonométriques

>>> Triangles 48° et 90°

>>> Triangles 48° et deux côtés entiers

>>> Triangles avec côté entiers et angle proche de 48°

>>> Triangle isocèle 48°

 

 

 

 

 

Résolution des TRIANGLES

Triangle (48°, 42°, 90°)

 

Comment résoudre un tel triangle de façon que les longueurs des cotés soient des nombres entiers.  Impossible! Mais comment s'en approcher au mieux.

 

        

Triangle 48° et Pythagore – Le défi

Le problème consiste à trouver un triangle en nombres entiers dont l'un des angles mesure 48°.

 

Le triangle de Pythagore (3, 4, 5)  est un modèle: triangle rectangle dont trois côté sont en nombres entiers.

 

Notre recherche consiste à trouver un triangle rectangle avec A = 48° et ses trois côtés en nombres entiers.

 

Autant dire tout de suite, que ce triangle n'existe pas.

 

On connait le triangle isiaque:

Carte d'identité

 

 

Angle 48° – Valeurs trigonométriques

 

L'angle  de 48° correspond à un angle de 4 Pi / 15 en radian soit 0,8377… radian

La valeur des lignes trigonométriques sont irrationnelles faisant intervenir les racines de 2, 3 et 5.

 

Avec de telles valeurs pas étonnant qu'il soit difficile de trouver des nombres entiers dans le triangle.

 

 

 

Triangles 48° et 90°

 

Quatre cas examinés:

1.   Angles entiers et côtés proches d'entiers;

2.   Côtés entiers et angles proches des entiers imposés (48 et 90);

3.    Idem;

4.   Triangle rectangle avec longueurs de côtés inférieures à 100; et

5.   Côtés en entiers inférieurs à 100 et angles proches des valeurs imposées.

 

Carte d'identité selon diverses contraintes (en jaune, nombre entiers)

 

Bilan: Les solutions 1) et  5) sont sans doute les plus adaptées à la réalisation d'un dessin concret avec une précision suffisante selon que l'on veut les trois côtés entiers ou les trois angles entiers.

 

Illustration avec le premier cas (avec 1/100 des longueurs des côtés)

 

Résolution (sur tableur ou avec un logiciel de calcul)

On impose un angle (C = 90°), un côté (b = 63) et un angle (A = 48°)

Soit un cas de résolution type LAL.

Essais avec diverses valeurs des paramètres en se rapprochant d'un plus petit commun multiple des valeurs des longueurs.

 

 

 

Triangles 48° et deux côtés entiers

 

On impose le troisième côté proche d'un entier.

Hors l'angle à 48°, les autres sont quelconques.

 

Carte d'identité avec a presque entier (la colonne de droite montre l'écart à un entier)

Le premier est le plus proche de l'objectif: 3762, 1000, 4357.

 

Résolution (sur tableur ou avec un logiciel de calcul)

On impose un côté (b = 1000), un côté (c =4357)  et un angle (A = 48°)

Soit un cas de résolution type LLA.

On fait varier les valeurs de b et c selon les lignes du tableur ou alors dans deux boucles de programme.

 

 

 

Triangles avec côté entiers et angle proche de 48°

 

On impose des nombres entiers pour les côtés.

On cherche à se rapprocher de l'angle à 48°; les deux autres angles sont quelconques.

 

Carte d'identité selon diverses contraintes (en jaune, nombre entiers)

Le premier est le meilleur selon nos contraintes.

Le dernier donne un des angles voisin de 90°.

 

Illustration avec le dernier cas

 

 

 

Triangle isocèle 48°

 

Le triangle isocèle avec 48° au sommet.

Les cinq valeurs, hors la base, sont des nombre entiers (normal!)

Mais quelle est la longueur de la base?

 

Carte d'identité et illustration

 

Merci à Alain M. pour l'idée de cette page

 

 

 

Triangles 49° et 90°

Figure

Triangle avec 49° et 90°, et côtés entiers (presque) en mm.

Encore plus proche des entiers avec: 926, 805 et 1 227.

 

Tableau

Il montre les paramètres du triangle de la figure en ligne 1.

 

Les deux autres possibilités sont encore plus proches des entiers, mais avec des nombres plus grands

 

Notez que 2 = 1 zoomé d'un facteur 1,206 et que 3 = 1 zoomé par 3,07. (rapport d'homothétie).

Les trois triangles proposés sont semblables, bien entendu.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Formules pour résoudre les triangles

*    Résolution des triangles LLL

*    Constructions élémentaires: les triangles

Voir

*    Angles

*    Triangles héroniens

*    Triangle – Introduction

*    TriangleIndex

*    Volume du tétraèdre

*    Formule de Héron pour le trapèze

DicoNombre

*    Nombre 48

Sites

*    Triangle calculator – Calculator.net – Vous donnez trois valeurs; il vous indique les trois autres et en prime le dessin du triangle.

*    Calculateur de trianglesTrianCal

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Calcul/Trg48.htm