NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/01/2024 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Problème du RECTANGLE

et des deux triangles ÉQUILATÉRAUX

Comment calculer la longueur du segment joignant les sommets des deux triangles équilatéraux? Et autres questions …

Le problème et sa solution géométrique
Problème Un rectangle ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC. Quelle est la longueur du segment EF, joignant les deux sommets des triangles équilatéraux? Remarque Angle EBF = angle EBC + angle CBF = (90 – 60) + 60 = 90° Le triangle EBF est rectangle
Ses côtés sont les côtés des triangles équilatéraux.		EB = a et BF = b
Théorème de Pythagore:		EF² = a² + b²
La longueur de EF est égale à celle des diagonales du rectangle ABCD: EF = AC = BD

Solution analytique (avec les coordonnées)
Hauteur d'un triangle équilatéral
Coordonnées des sommets des triangles.
Distance ente ces deux points: théorème de Pythagore sur les écarts en x et en y.

Solution par rotation
La figure initiale (bleue) est dupliquée (rouge). Celle-ci subit une rotation de 60°autour de B. Alors, le point A passe en E et le point C passe en F. On dit que E est l'image de A et que F est l'image de C. Si bien que le segment EF est l'image du segment AC, la diagonale du rectangle.

Formation d'un triangle équilatéral
Un rectangle et deux triangles équilatéraux tous deux externes ou tous deux internes. On relie les trois points comme indiqué: la figure est un triangle équilatéral. En effet: les trois triangles hachurés ont un angle de 90 + 60 = 150° et deux côtés de longueur a et b. Ils sont tous les trois égaux. Alors, les troisièmes côtés ont même longueur. Le triangle ainsi formé est bien équilatéral.

Triangle équilatéral dans un carré
Problème Un carré ABCD et un triangle équilatéral AEF inscrit dans le carré avec un sommet commun en A. Prouvez cette relation entres les aires des triangles: X + Y = Z. Triangle rectangle ABF
Aire du triangle ABF = ½ AB . BF Identité trigonométrique sur les angles doubles
Aire du triangle ADE Même principe avec un angle en A: 90 – 60 – alpha = 30 - alpha
Aire du triangle ECF Même principe avec un angle en F: 180 – 60 – (90 – alpha) = 30 + alpha
La relation à démontrer
Identité trigonométrique sur les sommes
Différence

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Site	Il était une fois un carré et deux triangles – Camille Charra et Pacale Pombourcq
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Exercice/TriaEq02.htm