NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES – Exercices

 

Glossaire Triangle

 

 

INDEX

 

TRIANGLE

Types

Rectangle

Isocèle

Équilatéral

Quatre carrés

Carré et 2 Trg Equilatéraux

Exercices 01

Rect et 2Trg Equilatéraux

Cinquième et +

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème

>>> Montrer que DEF sont alignés

>>> Solution analytique (utilisation des coordonnées)

>>> Mesure de DF et EF en utilisant les coordonnées

>>> Utilisation des relations dans le triangle

>>> Avec mise en évidence d'un axe de symétrie

 

 

 

 

Problème du carré

et des deux triangles équilatéraux

Problème du pentagone non-régulier

 

Une figure simple et de nombreuses possibilités de démonstrations de niveau cinquième jusqu'à niveau seconde.

 

 

 

Le problème

Un carré ABCD et deux triangles équilatéraux AEB et BFC.

 

Montrez que les points D, E et F sont alignés.

 

Donnez la mesure du segment DF.

 

 

 Niveau cinquième

Une idée pour suivre la démonstration sur la figure: copiez-la avec l'outil de capture d'écran.

 

Montrer que DEF sont alignés

Hypothèses

ABCD est un carré de côté a.

AEB et BFC sont des triangles équilatéraux de côté a.

Théorèmes

La somme des angles dans un triangle quelconque est égale à 180° >>>

Dans un triangle  isocèle, les deux angles adjacents à la base sont égaux et valent chacun: ½ (180° - angle au sommet) >>>

Hauteur du triangle équilatéral: 

 

Solution 1

DÊF est un angle plat

DÊF = DÊA + AÊB + BÊF

Évaluation de DÊA dans le triangle isocèle DAE

Angle en A = 90 – 60 = 30°

Angle en D et en E  = ½ (180 – 30) = 75°

Évaluation de BÊF dans le triangle isocèle EBF

ABE = 60° ; EBC = 30° ;  CBF = 60°

                  => EBF est droit

BEF = ½ (180 – 90) = 45°

Reprise de notre angle DÊF

DÊF = 75 + 60 + 45 = 180° = Angle plat

Les points D, E et F sont alignés.

 

Triangle isocèle CDF

Angle au sommet = 90 + 60 = 150°

Angle à la base = ½ (180 – 150) = 15°

Triangle isocèle DAE

Angle au sommet = 90 – 60 = 30°

Angle à la base = ½ (180 – 30) = 75°

Angle CDE = 90 – 75 = 15°

Égalité des angles

CDF = CDE = 15°

Les points D, E et F sont alignés

 

Mesure de DF

DF² = F'D² + FF'²

F'D = a/2

FF' = a + hauteur du triangle équilatéral

Évaluation

 

 

Solution 2 – Autour du point E

 

On prolonge BE qui coupe DC en G. Les angles DEG et BEF sont égaux (Voir la figure). Or B, E et G sont aligné; alors, D, E et F le sont.

 

 

 

Solution 3– Hauteurs de triangles qui sont parallèles

 

On trace la hauteur issue de A du triangle DAE. Son angle par rapport a AD est égal à 15° (Voir figure). On trace la hauteur issue de B du triangle EBF. Son angle par rapport a AD est égal à 15° (Voir figure).

Ces deux hauteurs font le même angle par rapport à deux droites parallèles (AD et BC), elles sont parallèles. Étant perpendiculaires aux segments DE et EF, ceux-ci sont parallèles. Ayant un point commun (E), ils sont alignés.

 

 

Niveau seconde

 

Solution analytique (1)

Utilisation des coordonnées des vecteurs

On choisit A comme origine du système d'axes. Ce qui fixe naturellement les coordonnées des quatre sommets du carré.

A (0, 0)

B (1, 0)

C (1, 1)

D (0,1)

Coordonnées des sommets E et F des  triangles équilatéraux.

 

On calcule la longueur de la hauteur du triangle équilatéral avec le théorème de Pythagore.

Vecteurs DE et DF

 

Deux vecteurs sont colinéaires si le déterminant est nul
ou autrement dit:  uv' = u'v

 

Utilisation d'une identité remarquable (a² - b²).

 

Le déterminant est nul, les vecteurs DE et DF sont colinéaires.

 

 

 

 

 

Solution analytique (2)

Utilisation de l'équation des droites

Les coordonnées sont connues

Voir ci-dessus

Coefficient directeur de la droite DE

D (0,1)

Coefficient directeur de la droite DF

 

Multiplication par le conjugué pour chasser le radical du dénominateur

D (0,1)

Les coefficients directeurs des deux droites sont égaux (elles ont la même pente).

Les droites issues du même point D sont confondues

Les points D, E et F sont alignés.

 

 

 

Mesure de DF et EF en utilisant les coordonnées

Rappel des coordonnées

D (0, 1)

Longueur de DE

 

 

Longueur de EF

Longueur de DF

 

Comparaison

 

Il est plus facile de rester avec les carrés du fait de la présence de radicaux.

 

Pensez à reformer un carré sous le radical lorsque c'est possible comme ici..

DF = DE + EF  ?

DF² = (DE + EF)² ?

 

 

 

 

Utilisation des relations dans le triangle

Loi des cosinus  (formules d'al Kashi)

 

Triangle DCF

Angle en F = 90 + 60 = 150 °

cos 150° = -  / 2

Triangle DAE

Angle en A = 30

cos 30° =  / 2

Triangle EBF isocèle et rectangle

Angle en B = 90°

EF² = EB² + FB² = 1² + 1² = 2

Comparaison

Plus facile avec les carrés en mettant tout les radicaux "compliqués" du même côté.

DE + EF = DF ? Si égalité, alors alignement.

 

  ?

 

 ?

 

 

 

Avec mise en évidence d'un axe de symétrie

 

La figure d'origine en bleu est dupliquée (rouge) et on lui applique une rotation de 60° autour de B.

 

Image de F = C

Image de E = A

Image de D = D'

 

 Montrer que F, E et D sont alignés, c'est montrer que C, A et D' sont alignés.

Le triangle DBD' est équilatéral car BD = BD' (diagonale du carré) et l'angle en B est égal à 60° (somme de trois angles, facile à identifier).

D'C est un des axes de symétrie de ce triangle, donc médiatrice de DB. Or AC, diagonale du carré, est aussi médiatrice de DB. Alors, C, A et D' sont bien alignés.

 

 

 

 

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Site

*    Il était une fois un carré et deux triangles – Camille Charra et Pacale Pombourcq

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