NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

TRIANGLES – Exercices

 

Glossaire Triangle

 

 

INDEX

TRIANGLE

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Rectangle

Isocèle

Exercices 01

Quatrième

 

Sommaire de cette page

>>>  Exercice 01

>>>  Exercice 02

 

 

 

 

Exercice 1

Avec cette figure:

 

1.   Calculez la longueur du segment NE.

2.    Montrer que l'aire du triangle NOE est égale à celle du triangle NEL. 

 

Exercice 1 – Solution

 

Réponse en figure

 

 

Explications

La longueur de NE se calcule facilement avec le théorème de Pythagore.

NE² = NO² + OE²

 

LH une la hauteur du triangle quelconque NEL.

L'aire du triangle est égale à la moitié du produit d'un côté*  par la hauteur qui lui correspond.

ANEL = ½ (NE . HL)

 

Le triangle NOE est un triangle rectangle. Son aire est égale à la moitié de celle du rectangle.

Ou encore, avec NO comme base et OE comme hauteur; ou encore avec OE comme base et NO comme hauteur.

ANOE = ½ (NO . OE)

 

Le calcul des aires montrent qu'il y a égalité:

ANEL = ANOE = 69,96 m²

 

* Il faudrait, chaque fois, dire: la longueur d'un côté ou la mesure d'un côté.

Certes, mais dit-on "boire un verre" ou "boire le contenu d'un verre".

Il est vrai qu'en maths, il faut être précis, du moins, éviter les confusions possibles.

 

 

Remarque 1 (Fondamental à savoir en 4ème)

Le point L est indéterminé. On peut mettre HL n'importe où. Même H en E ou même en N. L'aire du triangle NEL sera toujours la même.

ANEL = ½ (NE . HL)

 

Remarque 2 (Pour se prouver qu'on a bien compris)

On faire la démonstration à l'envers: quelle est la valeur de HL pour que les deux triangles aient la même aire A? Nommons les deux côtés x = NO et y = OE.

 

 

 

Application numérique à notre cas:

 

Conséquence: l''énoncé aurait pu proposer toutes valeurs de x et y et donner la mesure de HL selon la formule trouvée. Un triplet de Pythagore sous la racine serait le bienvenu pour donner une valeur entière.

Avec le triplet classique 3² + 4² = 5², la valeur de HL serait égale à 2,4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarque 3  (Pour élève curieux)

On peut aussi vérifier que les calculs " tombent justes". On cherche les produits qui donnent les nombres donnés dans l'énoncé. Pour avoir des entiers, on multiplie tout par 100, ce qui ne change rien (Au lieu de mètres, on a des centimètres).
Rappel: 24 = 2x2x2x2 = 16

 

1 360 = 24 .      5 .  17

 

1 020 = 22 . 3 . 5 .  17

 

1 700 = 22 .      52 . 17

La fraction se simplifie pour donner la mesure attendue.

 

Remarque 4 (Hors programme de 4ème)

Dans le calcul de NE = 1700 se cache un célèbre triplet de Pythagore qui permet d'obtenir une racine entière.

Voir Facteurs / Puissances

 

 

 

Exercice 02

Étant donné a et b, calculer c, h et d.

 

Applications numérique avec a  = 12 et b = 20.

a = 12, c     = 16 et b = 20

h = 21, a+c = 28 et d = 35

 

Voir Théorème de Thalès

 

Autres configurations de deux triangles de Pythagore semblables.

Le premier exemple (jaune) est celui traité ci-dessus.

 

Toutes les valeurs pour a de 1 à 100 et b de 1 à 150.

a,  c,  b,  h,  a+c, d 

12, 16, 20, 21, 28, 35

24, 18, 30, 56, 42, 70

24, 32, 40, 42, 56, 70

36, 27, 45, 84, 63, 105

36, 48, 60, 63, 84, 105

48, 36, 60, 112, 84, 140

48, 64, 80, 84, 112, 140

60, 25, 65, 204, 85, 221

60, 45, 75, 140, 105, 175

60, 80, 100, 105, 140, 175

72, 54, 90, 168, 126, 210

72, 96, 120, 126, 168, 210

84, 63, 105, 196, 147, 245

84, 112, 140, 147, 196, 245

96, 72, 120, 224, 168, 280

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Constructions élémentaires: triangle rectangle

*    Résolution du triangle rectangle

*    Doubler le triangle rectangle

*    Quadrupler le triangle rectangle

*    Triangles rectangles particuliers

*    Types de triangles

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Voir

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*    Résolution du triangle quelconque

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